Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

Annexe B
Sillage MHD d’un cylindre
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Cette annexe s’attache à fournir un support plus rigoureux et plus général aux conclusions
de la section 3.2.3. Nous montrons comment, grâce à un développement incompressible, on
peut déterminer l’écoulement MHD autour d’un cylindre infini, quel que soit le régime de
viscosité.
B.1 Principe général et développement incompressible
Nous reprenons pour cela, la même situation que celle décrite en section 3.2.3 : un cylindre
infini d’axe parallèle au champ magnétique moyen. Un flot arrivant avec une vitesse v c dans
le repère du cylindre, loin en amont du cylindre.
L’écoulement qui nous intéresse est la solution du système d’équations de la MHD en
présence d’une viscosité de compression : l’équation d’Euler, l’équation de conservation de la
masse, l’équation d’induction et une équation de fermeture type polytrope.
L’invariance le long de l’axe vertical simplifie l’expression de la force visqueuse de compression
et de la force de Lorentz. La force visqueuse s’écrit en effet simplement :
⃗F η = 1 3 ⃗ ∇ ⊥
(
η 0
⃗ ∇⊥ .⃗v ⊥
)
(B.1)
Dans cette géométrie, il ne peut pas y avoir de champ magnétique perturbé perpendiculaire
au champ de référence. Les lignes de champ restent verticales. Elles se contentent de se
compresser et d’éviter le cylindre. La force de tension des lignes de champ est donc nulle et
la force de Lorentz s’exprime simplement comme le gradient de la pression magnétique :
⃗F M = ⃗j × ⃗ B = 1 2 ⃗ ∇B 2
(B.2)
Par ailleurs, la composante verticale de l’équation d’induction donne une relation simple
entre le champ et la densité :
(⃗v. ∇) ⃗ ∇(B/ρ) ⃗ = 0
(B.3)
Si on impose une densité et un champ constants loin en aval de l’obstacle, alors naturellement
le champ magnétique est partout proportionnel à la densité et les forces de pression et de
Lorentz peuvent simplement se regrouper pour donner le terme :
⃗∇P tot = v 2 m ⃗ ∇ρ
(B.4)
où vm 2 = c 2 s + vA 2 est la vitesse de propagation des ondes magnétosonores rapides qui, dans
cette géométrie, ne peuvent se propager que perpendiculairement au champ magnétique.