Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

150 Forme variationnelle cinétique
Si du point de vu du simple calcul de taux de croissance, les deux formes quadratiques
sont comparables, du point de vue de la compréhension globale de l’AEI et des parallèles qui
peuvent être fait entre les différentes approches, il est plus intéressant d’opter pour une forme
commune qui soit variationnelle. L’étude qui a été menée dans ce début de chapitre permet
de construire une telle forme.
9.4 Forme variationnelle cinétique
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Maintenant que nous avons une idée claire de la manière dont se construit une forme
variationnelle en MHD, passons à la construction proprement dite d’une forme équivalente
pour un système cinétique. La forme cinétique brute étant trop lourde pour des applications
aisées, nous attachons ici une importance particulière à la dérivation d’une forme variationnelle
centre guide. La construction du Lagrangien dans ce formalisme n’est pas immédiate
et doit répondre à un certain nombre de questions. Comment faire intervenir la fonction de
distribution Quel jeu de variables utiliser pour remplacer le déplacement Lagrangien fluide
Comment faire apparaître l’approximation centre guide Comment gérer simultanément les
populations d’ions et d’électrons et un certain nombre d’autres questions qui se posent au
fur et à mesure de la construction.
Si aucune forme variationnelle cinétique n’a pour l’instant été écrite en astrophysique,
quelques travaux ont déjà été effectués dans la cadre des plasmas de laboratoire. Bien que
leur complexité soit souvent inutile pour des applications en astrophysique, la dérivation
présentée ici est en grande partie inspirée de ces travaux. Comme nous allons le voir, une
difficulté majeure intervient cependant qui a nécessité une nouvelle formulation des méthodes
centre guide : l’existence dans les disques d’accrétion d’une vitesse d’équilibre importante qui
n’existe pas dans les plasmas de laboratoires.
La dérivation n’a pas encore pu être menée jusqu’à son terme complet. Cependant, comme
nous allons le voir, le principe de la méthode est maintenant clairement posé, des réponses
ont été apportées au différentes questions posées ci-dessus, et la plus grosse partie du calcul
proprement dit a également été faite.
9.4.1 Variables variationnelles
Comme nous l’avons succinctement introduit au chapitre 8, les équations fluides sont
toutes contenues dans la définition de la fonction de distribution. Alors que le système fluide
était entièrement décrit par les équations fluides, les équations de Maxwell et des conditions
aux limites, le système d’équations qui décrit un problème cinétique est celui dit de Vlasov-
Maxwell, constitué donc des équations de Vlasov et de Maxwell ainsi que des conditions aux
limites associées.
Nous supposerons, de même que dans le cas fluide, que les flux aux frontières sont
négligeables en première approximation, ce qui permet de considérer le système comme isolé.
Une forme variationnelle cinétique peut donc être construite en transposant celle obtenue
en fluide. La première difficulté rencontrée est que les champs sont différents : les notions
de vitesse, de pression... sont toutes à réinterpréter en terme de fonction de distribution. En
l’occurrence, les grandeurs fluides correspondent aux moment centrés en vitesse de la fonction