Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

172 Sillage MHD d’un cylindre
Avec ces relations, le système à résoudre se limite donc finalement à l’équation de conservation
de la masse et à l’équation d’Euler :
⃗∇. (ρ⃗v) = 0
ρ(⃗v. ⃗ ∇)⃗v = −v 2 m ⃗ ∇ρ + 1 3 ⃗ ∇
(
η∇.⃗v
⃗ )
Ce système aux allures simples est non linéaire, ce qui le rend très difficile à appréhender.
En fait, le problème plus simple, hydrodynamique et sans viscosité présente déjà des grosses
difficultés analytiques, et jusqu’à présent, aucune solution analytique n’a été trouvée (Landau
& Lifshitz 1959). Nous n’allons donc pas tenter de traiter à la main le problème MHD et
viscible. On peut par contre faire certaines approximations. En particulier, le mouvement
des nuages moléculaires étant très subsonique et subalfvénique, on peut se limiter à l’étude
de cette limite et développer les équations par rapport à la vitesse du fluide. On définit
donc le petit paramètre ɛ comme le rapport de la vitesse typique du fluide et des ondes
magnétosonores rapides, loin en amont du flot :
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
ɛ =
(
vc
v ∞ m
) 2
(B.5)
Afin de faciliter les notations, on peut aussi définir le nombre sans dimension, similaire au
nombre de Reynolds :
R B = R e /ɛ = 3r cv c
(B.6)
ν ∞ ɛ
où ν ∞ est la viscosité cinématique loin en amont du cylindre. Si maintenant, on normalise les
vitesses, la densité, la vitesse magnétosonore et la viscosité dynamique par leur valeur loin en
amont de l’objet et les distances par le rayon du cylindre, on peut écrire l’équation d’Euler
de la manière suivante :
(
ɛρ(⃗v. ∇)⃗v ⃗ = −vm 2 ∇ρ ⃗ + ∇ ⃗ ∇.⃗v
η ⃗ )
(B.7)
R B
Plutôt que de travailler directement avec les composantes de l’équation d’Euler, il est plus
facile de travailler avec la composante alignée avec la vitesse et avec l’équation de vorticité
qui découle de l’équation d’Euler elle aussi :
(
ɛ(⃗v. ∇)v ⃗ 2 /2 = vm 2 ∇.⃗v ⃗ + 1 ρ ⃗v.⃗ ∇.⃗v
∇ η ⃗ )
(B.8)
R B
∣
ɛ(⃗v. ∇)ω ⃗ = −ɛω∇.⃗v ⃗ − ν ∣∣∣∣ ∇ρ ⃗
R B ρ × ∇( ⃗ ∇.⃗v) ⃗ ∣
∣
(B.9)
Et on peut maintenant développer les équations ordre par ordre par rapport à ɛ.
B.2 Ordre 0 : solution incompressible
Le système à l’ordre le plus bas ne fait pas intervenir le terme d’advection. En intégrant
une fois l’équation d’Euler on obtient le système suivant :
h 0 (ρ 0 ) + η 0
η ∞ R 0 (⃗v 0 . ∇)ρ ⃗ 0 = cste
B
(B.10)
où h 0 =
c2 s
γ−1 + 2v2 A
est l’enthalpie du fluide. L’équation B.10 est une équation différentielle
d’ordre 1 en ρ 0 . Il n’existe pas d’autre solution qui ne diverge pas, soit en amont, soit en aval
du flot, que la solution dégénérée incompressible : ρ 0 = 1, ∇.⃗v ⃗ 0 = 0. On peut alors écrire :
⃗v 0 = −⃗e z × ⃗ ∇Ψ
(B.11)