Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

144 Forme variationnelle cinétique
Sous cette forme, l’extrêmalisation de A par rapport à un déplacement ⃗ ξ quelconque est
immédiate et donne directement l’équation d’Euler du système :
ρ 0 (∂ t ⃗v 0 + ( ⃗v 0 . ⃗ ∇)⃗v 0 ) = − ⃗ ∇P 0 + ⃗ J 0 × ⃗ B 0 + ρ 0
⃗ ∇ΦG (9.14)
Ce résultat justifie la forme du Lagrangien 9.4 pour un système isolé. Il pose en outre pour
nous les principaux éléments de compréhension qui nous permettrons ensuite d’appréhender
la stabilité d’un système par la méthode variationnelle.
9.2.2 Stabilité d’un système isolé
La variation de l’action linéarisée permet de trouver l’évolution d’un système sans perturbation.
En particulier, elle permet d’obtenir des équilibres stationnaires (∂ t ⃗v 0 = ⃗0). Elle
ne permet cependant pas de connaître la stabilité de ces équilibres : rien dans ce qu’on vient
de voir ne permet de déterminer si la solution ainsi trouvée est stable ou non.
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Action et Lagrangien
Comme nous l’avons vu, étudier la stabilité linéaire d’un problème c’est chercher l’évolution
temporelle d’une petite perturbation autour d’un équilibre donné : s’amplifie t-elle ou au
contraire s’amortit-elle Les grandeurs d’équilibre sont donc supposées fixées et on peut
chercher l’évolution d’une perturbation en écrivant un principe variationnel, non plus pour
les champs d’équilibre, mais pour les champs perturbés.
Mathématiquement, cela revient donc à écrire une forme variationnelle pour le déplacement
Lagrangien ⃗ ξ, les champs d’équilibre étant fixés. Comme on peut le voir sur la définition de
l’action linéarisé 9.13, celle-ci est par définition nulle lorsque les conditions d’équilibre sont
satisfaites. Pour obtenir l’information sur l’évolution de ⃗ ξ, il faut donc développer la densité
de Lagrangien à l’ordre 2. La densité de Lagrangien L 2 ainsi trouvée est une forme quadratique
en ⃗ ξ. Le déplacement Lagrangien solution ⃗ ξ s est donc celui qui rend stationnaire
l’action développée à l’ordre 2 :
∂ ⃗ξ A 2 | ⃗ξ= ⃗ ξs
= 0 (9.15)
Le Lagrangien et l’action pourraient à nouveau être obtenus en développant à l’ordre 2,
par rapport à ⃗ ξ, les grandeurs ⃗ B, ⃗v, ρ et P et les équations correspondantes. Cependant, cette
méthode est lourde et délicate (Newcomb 1962). Dans le cas d’un système isolé confiné par
des parois rigides, une méthode beaucoup plus simple permet d’obtenir le Lagrangien.
L’opérateur de force
Celle-ci se base sur les propriétés des équations d’Euler linéarisées. Ces équations font
intervenir l’opérateur de force linéarisé :
⃗F ( ξ) ⃗ = ∇ ⃗ )
(γP 0∇. ⃗ ξ ⃗ + ( ξ. ⃗ ∇)P0 ⃗
−B ⃗ ( ( ))
0 × ⃗∇ × ∇ ⃗ × ⃗ξ × B0 ⃗ + J ⃗ 0 × ∇ ⃗ ( )
× ⃗ξ × B0 ⃗
(9.16)
(9.17)
+ ⃗ ∇(Φ G ) ⃗ ∇.(ρ 0
⃗ ξ) (9.18)
où on reconnaît sur les trois lignes respectivement les termes de pression, magnétiques et de
gravité.