Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

46 Le chauffage par friction visqueuse
gradient de pression magnétique. Et d’autre part, la force visqueuse est exactement proportionnelle
à la divergence du flot : D = ⃗ ∇ ⊥ .⃗v ⊥ . De plus, on trouve d’après l’équation d’induction,
que l’intensité du champ magnétique est directement proportionnelle à la densité. Au
bilan, si on note :
v 2 F = c 2 s + v 2 A (3.13)
la vitesse magnétosonore rapide maximale, somme de la vitesse du son et de la vitesse
d’Alfvén, alors l’équation d’Euler s’écrit simplement :
ρ(⃗v. ∇)⃗v ⃗ = −vF 2 ∇ρ ⃗ + 1 ∇
3 ⃗ (
η∇.⃗v
⃗ )
(3.14)
En l’absence de viscosité, on trouve donc que :
v 2 F ⃗ ∇.⃗v = (⃗v. ⃗ ∇) v2
2
(3.15)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
On constate que ce résultat est le même que dans le cas tridimensionnel non magnétisé (cf.
relation 3.12). Ce résultat amène naturellement à définir un nouveau nombre de Reynolds
pour cet écoulement à deux dimensions :
R 2D = 3 V L
ν
( V
V F
) −2
(3.16)
Pour des champs au-delà de l’équipartition (β 1), la vitesse magnétosonore rapide est
dominée par la vitesse d’Alfvén et dans le cas limite B ∼ 100 µG, ce nombre vaut :
( ) (
rc
R 2D = 6.0
5 pc
)
v −1 (
c
B
100 km s −1 .1 mG
) 2 ( )
kB T −5/2
(3.17)
8 keV
Plus le champ magnétique est fort, plus le régime est subalfvénique, donc plus la compression
du plasma est faible et moins le milieu est visqueux. On constate donc, que le champ
magnétique en plus d’inhiber complètement la viscosité de cisaillement aussi limite la viscosité
de compression. Il semble finalement que pour un champ de 100 µG, le milieu soit dans
un régime assez intermédiaire. Puisque R B > 1, on peut cependant en assez bonne approximation
négliger l’influence de la viscosité sur l’écoulement du plasma. Dans la limite très peu
visqueuse, D ∼ v 3 c /V 2 F r c (voir eq. 3.15) et l’on peut facilement estimer la puissance dissipée
localement :
q ∼ η v6 c
r 2 c v 4 F
(3.18)
De même, la viscosité étant négligeable, on peut se contenter d’intégrer sur une surface de
l’ordre de πrc
2 autour du cylindre pour estimer la puissance totale, dissipée par unité de
hauteur du cylindre. En ordre de grandeur, on trouve donc :
Q ∼ η v6 c
v 4 F
(3.19)
On voit que cette puissance est beaucoup plus faible que la puissance qui serait dissipée si le
champ magnétique n’inhibait pas la viscosité de cisaillement, typiquement dans un rapport
qui vaut, 0.03 pour un champ de 100 µG.