Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

166 la viscosité de compression
A.2 Viscosité des gaz non magnétisés
Quand il n’y a pas de champ magnétique, on peut se faire une idée assez simple de la
manière dont la viscosité agit sans avoir besoin de faire la dérivation complète. Considérons
pour cela un milieu de densité constante, de vitesse moyenne dirigée selon une direction y et
de module variant le long de x. La viscosité va tendre à amortir ce gradient. Si on considère
que chaque particule transporte, entre deux collisions, les quantités physiques du milieu au
lieu de sa dernière collision (le moment selon y en particulier), alors, en un temps de collision
τ, les particules qui traversent une surface de normale l’axe x viennent en moyenne d’une
distance égale à leur libre parcours moyen l. Dans la limite où la vitesse varie peu sur cette
échelle de distance (approximation des faibles gradients), on peut déduire la vitesse en ce
point par un développement limité autour de sa valeur sur la surface :
V y (x 0 ± l) = V y (x 0 ) ± l∂ x V y
(A.4)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Or, la moitié des particules qui sont à une distance inférieure à l à gauche de la surface la traversent
vers la droite en ce temps τ, créant un flux de moment vers la droite ρl ( )
2τ V
0
y − l∂ x V y .
Les autres s’en éloignent vers la gauche. Et de la même manière, la moitié des particules de
droite traversent la surface vers la gauche emportant le moment moyen de droite. Au bilan,
le flux de moment ρV y le long de x est simplement la différence des deux. La composante du
tenseur des contraintes et la force associée s’écrivent alors :
où
Π xy = −η ∂ x V y (A.5)
F y = η ∂ 2 xV y (A.6)
η ∼ ρl 2 /τ
(A.7)
est appelé coefficient de viscosité dynamique. On voit que, à libre parcours moyen donné,
plus le taux de collision est élevé (τ petit), plus la dissipation est efficace. On constate
également que, à taux de collisions donné, la viscosité est plus importante lorsque le libre
parcours moyen est grand. En effet, les particules propagent entre deux collisions l’information
sur le lieu de leur dernière collision. Lorsqu’elles collisionnent à nouveau pour transmettre
leur information, plus ces collisions sont éloignées les unes des autres, plus les particules
transportent une quantité de mouvement différente de la locale, et plus le flux de moment
est important.
Tant que les particules peuvent se déplacer librement entre deux collisions (tant qu’il n’y
a pas de champ magnétique donc), on peut relier libre parcours moyen et temps de collision
par la température :
√
kB T
l/τ = v th =
(A.8)
m
si bien que l’on peu finalement écrire la viscosité comme une fonction de la température :
η ∼ nk B T τ
(A.9)
Si maintenant, on s’intéresse au cas plus général ou la densité n’est pas uniforme et la
vitesse possède une direction et un gradient quelconque, alors, l’expression de la viscosité est
plus compliquée :
Π i,j = −η 0
(∂ j v i + ∂ i v j − 2 )
3 δ i,j∇.⃗v
⃗ (A.10)
⃗F η = η 0
(∇ 2 ⃗v + 1 )
∇(
3 ⃗ ∇.⃗v) ⃗ (A.11)