Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

142 Forme variationnelle cinétique
La quantité extrêmale est l’action du système. L’intrégrande L est appelée la densité de
Lagrangien. Elle est fonction d’un certain nombre de variables indépendantes φ (amplitude
des champs, c’est-à-dire pour ce qui nous intéresse : position, densité, pression, champ
magnétique... ainsi que les coordonnées) et de leur dérivées ∂ x φ par rapport aux paramètres
de l’intégration (gradients de champ, vitesses). Les paramètres x sont le plus souvent les
variables d’espace ou de temps. La densité de Lagrangien intégrée sur les variables d’espace
donne le Lagrangien L du système.
Par définition, les solutions φ ⃗ s du problème sont celles qui extrêmalisent A à des conditions
aux limites données. Formellement, au niveau des solutions :
∂ ⃗φ A∣ = ⃗0 (9.2)
⃗φ= φs ⃗
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
En mécanique classique par exemple, temps et espace sont découplés. Si les conditions aux
limites spatiales peuvent varier d’un problème à l’autre, on perturbe toujours le système avec
des perturbations qui s’annulent à instant initial t 1 et l’instant final t 2 . Après une intégration
par partie naturelle, on trouve en faisant la variation de A avec les conditions aux limites
temporelles δφ(t 1 ) = δφ(t 2 ) = 0, que le Lagrangien L doit vérifier pour chaque champ φ j
l’équation suivante :
∑
( )
∂ ∂L
= ∂L
(9.3)
∂x i ∂(∂ xi φ j ) ∂φ j
i
En précisant des conditions aux limites spatiales, on pourrait préciser davantage les équations
et obtenir un jeu complet d’équations différentielles sur la densité de Lagrangien L, gouvernant
l’évolution des différents champs en tout point de l’espace. Ces équations sont généralement
appelées équations d’Euler-Lagrange, et dans le cas fluide correspondent bien aux équations
d’Euler habituelles.
Tout le jeu de l’approche variationnelle consiste en fait à déterminer le Lagrangien et
l’action associée qui représentent le système, c’est-à-dire le Lagrangien et l’action dont les
équations d’Euler correspondent bien aux équations différentielles constitutives du système 2 .
Si pour certains problèmes, la nature du Lagrangien et de l’action associée est intuitive, leur
construction est en général un travail délicat. C’est tout l’enjeu de ce chapitre.
9.2 Formes variationnelles fluides
Afin d’adapter cette méthode à la physique cinétique des plasmas, il convient dans un
premier temps de bien comprendre son principe en fluide. Nous nous attachons donc ici à
décrire un système régi par les équations de la MHD et un jeu de conditions aux limites.
9.2.1 Lagrangien d’un système isolé
Lorsqu’on effectue la variation de l’action, on le fait en respectant les conditions aux
limites. Deux systèmes régis par les même équations constitutives mais possédant des conditions
aux limites différentes ont donc a priori des actions et des Lagrangiens différents. Il
n’existe donc pas de forme générique indépendante des conditions aux limites. Dans cette
sous-section, nous nous intéressons à un type de conditions très courantes, celles correspondant
à une système isolé, confiné par des parois rigides.
2 Le jeu des intégrations par partie montre en fait qu’avec des conditions aux limites données, le Lagrangien
n’est pas unique et qu’il en existe une infinité pouvant décrire le même système. En particulier, en mécanique
classique, si L est un Lagrangien intégré sur le volume, L + d tF en est un aussi, où d tF marque une dérivée
par rapport au temps d’une fonction quelconque, le long des trajectoires.