Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

192 Calcul des résonances
En notant X nm = n∂ J F 0 + m∂ L F 0 l’intégration donne :
X nm ĥ nm
ˆf nm =
ω e − mΩ K − nω B
= h [
(
n
2 X δ(m − m e ) i
nm
−
ω e − m e Ω K − nω B ω − ω e
(
δ(m + m e ) i
−
−
ω e − m e Ω K + nω B ω + ω e
)
i
ω − m e Ω K − nω B
(E.9)
)]
i
(E.10)
ω + m e Ω K − nω B
En repassant dans l’espace réel pour le temps, on peut écrire la fonction de distribution
perturbée comme :
avec
f nm = h n
2 X nm [f − δ(m − m e ) − f + δ(m + m e )] (E.11)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
fn − = e−iωet − e −i(nω B+m eΩ K )t
˜ω e − nω B
(E.12)
f n + = e+iωet − e −i(nω B−m eΩ K )t
˜ω e + nω B
(E.13)
˜ω e = ω e − mΩ K (E.14)
On peut maintenant se lancer dans le calcul de la puissance :
∫
P = −i dθdχ
∑ (
n ′ ω B + m ′ )
Ω K hn ′ m ′f nme i(n+n′ )χ e i(m+m′ )θ
nn ′ mm ′
(E.15)
L’intégrale sur les phases donne ici zéro sauf lorsque n = −n ′ et m = −m ′ . De plus, h(χ)
étant réel, h n = h ∗ −n. En notant Y nm = nω B + mΩ K , la puissance s’écrit donc :
∫ ∑
P = i Y nm h −n−m f nm
nm
(E.16)
∫ ∑
= −i
nm
∫ ∑
= −i
nm
|h n | 2
4 X nmY nm
[
δ(m + me )e −iωet + δ(m − m e )e +iωet]
|h n | 2
[
f
−
n δ(m − m e ) − f + n δ(m + m e ) ] (E.17)
4 X nmY nm
[
f
−
n δ(m − m e )e +iωet − f + n δ(m + m e )e −iωet] (E.18)
Le produit X nm Y nm donne deux types de termes : des termes pairs en n et m et des termes
impairs. En remplaçant f + et f − par leur expression, la partie paire donne :
∫ ∑
P pair = −i
n
∫ ∑
= −i
n
|h n | 2 (
n 2 ω B ∂ J F 0 + m 2 ) [
4
eΩ K ∂ L F 0 f
−
n e +iωet − f n + e −iωet] (E.19)
|h n | 2 (
n 2 ω B ∂ J F 0 + m 2 )
4
eΩ K ∂ L F 0
[
]
1 − e i(eωe−nω B)t
− 1 − ei(eωe+nω B)t
˜ω e − nω B ˜ω e + nω B
(E.20)