Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

C.1 Equations perturbées générales 181
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Fig. C.2 – Profils d’équilibre vérifiant v 2 A /r2 = cste, pour γ = 1.
de vitesse v r , v θ , and v z , les équations perturbées de conservation de la masse et d’induction
donnent respectivement :
iωρ/ρ 0 = v r ′ + im r v θ + ik z v z + v ( )
r
1 + r ρ′ 0
r ρ 0
iω ⃗ b/B 0 = − im (
r ⃗v + v r ′ + im r v θ + ik z v z + v r
(−1 + (rB 0) ′ ))
r rB 0
(C.10)
(C.11)
Le problème majeur de cette géométrie vient des dérivées radiales. Cependant, du fait des
propriétés particulières du système, celles-ci ne touchent en fait que la composante radiale de
la vitesse, si bien qu’en exprimant tout en fonction de v r , les expressions restent simples. En
éliminant donc ρ et ⃗ b dans les composantes verticale et orthoradiale de l’équation d’euler, on
peut exprimer les composantes de vitesse correspondantes :
v θ = − im
v z = ik z
D
rD c2 s
{( m
2
{(ω 2 − m2
r 2 v2 A
r 2 c2 sv 2 A − ω 2 v 2 F
)
v r ′ +
(ω 2 − m2
)
v ′ r +
)
vr
r 2 v2 A − 2kzv 2 A
2
(ω 2 (va 2 − c 2 s) − m2
r 2 c2 svA
2
r
}
)
vr
r
}
(C.12)
(C.13)
où on a noté
D = ω 4 − v 2 F
( m
2
r 2
+ k2 z
) ( )
ω 2 + m2 m
r 2 c2 svA
2 2
r 2 + k2 z
(C.14)
Pour obtenir l’équation de dispersion, il suffit maintenant de remplacer ces expressions
dans la composante radiale de l’équation d’Euler. On trouve finalement un équation assez
compliquée qui peut s’écrire de la manière suivante :
[
∂ 1
∂r r P (ω, m, k z, r) ∂ r]
∂r rv + Q(ω, m, k z , r)v r = 0 (C.15)