Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

188 Dérivation et propriétés d’une structure magnétique droite
l’horizontale :
( ) 1
c∂ r log B r + s∂ z log B r = −c
r + ∂ zt
(D.2)
où s = sin α, c = cos α et t = tan α.
A partir de là, il est plus simple de travailler avec les variables (r 0 , x) qui repèrent le rayon
au pied d’une ligne de champ et la position le long de cette ligne :
r = r 0 + cx (D.3)
z = sx (D.4)
Avec ces nouvelles variables, l’inclinaison des lignes de champ ne dépend plus que de r 0 . De
plus,
c∂ r + s∂ z = ∂ x
(D.5)
et on trouve après quelques manipulations délicates que :
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
∂ z t =
−t ′ /t
1 − xst ′ /t 2 (D.6)
où le ’ dénote la dérivée par rapport à la variable r 0 . Pour simplifier encore l’écriture, notons
maintenant :
t ′
n = −r 0 (D.7)
t
Si la tangente de l’angle que font les lignes de champ avec le disque suit une loi de puissance,
alors, n est cette puissance. Dans le cas plus général, n est une fonction de r 0 . Avec ces
nouvelles variables, la divergence du B s’écrit finalement :
[
]
1
∂ x log B r = −c
r 0 + cx + n/r 0
(D.8)
1 + nxc/r 0
Cette équation s’intègre facilement en x pour donner la solution suivante :
B r (x, r 0 ) =
B 0 r
(1 + cx/r 0 )(1 + ncx/r 0 )
(D.9)
où B 0 r (r 0 ) est la valeur du champ radial au pied de la ligne de champ r 0 . La composante
verticale du champ se déduit immédiatement grâce à la tangente de l’angle : B z = tB r .
On peut se fixer arbitrairement la dépendance radiale du module du champ dans le disque
et de l’inclinaison des lignes de champ. On peut donc trouver a priori autant de solutions
qu’on veut et faire varier la géométrie par cette méthode. Cependant, on peut être intéressé
par des solutions sans courant dans le couronne, c’est à dire des structures magnétiques
générées par des courants dans le disque ou ailleurs. Dans ce cas, écrire la condition sans
courant : J θ = 0 impose une nouvelle contrainte sur les solutions possibles. Il ne reste donc
plus a priori qu’un degré de manoeuvre pour faire varier la structure du champ. Se fixer
un profil et en déduire l’autre nécessite des calculs qui, malgré la simplicité de la géométrie
deviennent un peu lourds.
Dans la mesure où, pour le calcul des orbites, nous travaillons sur une ligne de champ
donnée, on s’aperçoit que la variation du module du champ d’une ligne à l’autre, au niveau du
disque B 0 (r 0 ), n’influence pas directement le résultat (au contraire de la loi sur l’inclinaison
des lignes de champ). Il est donc plus simple de se fixer la loi sur l’inclinaison des lignes
de champ ; et il n’est alors pas nécessaire de calculer la loi sur le module du champ dans le
disque.