Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

132 Pompage magnétique
ce cas, on peut, avec un jeu de variables appropriées, décrire de manière simple les équations
perturbées.
Variables angle-action
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Un système de particules se décrit a priori dans l’espace des phases (⃗x; ⃗v) par la fonction de
distribution F(t, ⃗x, ⃗v). On peut cependant le décrire de manière équivalente par un autre jeu
de variables. Lorsque les trajectoires des particules individuelles sont de orbites périodiques,
le jeu de variables le plus adapté regroupe les variables dites angle-action : ( ⃗ θ; ⃗ J).
Celles-ci sont définies pour une particule individuelle dans le formalisme de Hamilton
(Morse & Feshbach 1953). Un oscillateur harmonique à une dimension décrit par exemple
des cercles parfaits dans l’espace des phases. Sa trajectoire peut bien sûr être décrite par
les variables x et v, mais dans ces variables, les trajectoires sont complexes. Elles peuvent
aussi être décrites par leur rayon et leur phase. Le rayon est une constante du mouvement
et la phase croît linéairement avec le temps. Ces deux variables sont les variables d’action et
d’angle respectivement. Que les orbites soient simples ou extrêmement compliquées, l’idée est
toujours de chercher, un système de variables telles que l’une est une constante du mouvement
et l’autre évolue linéairement avec le temps. Si H est le Hamiltonien du système, de telles
variables doivent donc vérifier :
d t J = 0 = −∂ θ H (8.38)
d t θ = ω B = ∂ J H (8.39)
où ω B n’est une fonction que de J et est donc également une constante du mouvement.
Physiquement, cette quantité ω B est simplement la fréquence du mouvement périodique.
Le problème est ici à trois dimensions d’espace et autant de vitesses. Mais on peut
décomposer le mouvement en trois mouvement périodiques.
1- Le mouvement d’équilibre de particules suit celui des lignes de champ. Il est donc périodique
dans son mouvement autour de l’axe de rotation du système.
2- On vient de montrer que les particules peuvent avoir un mouvement périodique le long
des lignes de champ.
3- Dans l’approximation centre guide, le mouvement cyclotron autour des lignes de champ
est lui aussi périodique.
On peut donc définir trois couples de variables angle-action : (θ; L) pour le mouvement
képlérien, (χ, J) pour le mouvement le long des lignes de champ et (φ; µ) pour le mouvement
cyclotron. La variable d’action du mouvement képlérien est le moment cinétique. La variable
d’action du mouvement cyclotron n’est autre que le moment magnétique. Dans l’approximation
centre guide, les quantité ne dépendent pas de φ. Cette variable n’apparaîtra donc
jamais dans les calculs. Les fréquences de ces trois mouvement périodiques sont respectivement
la fréquence képlérienne Ω K , la fréquence d’oscillation obtenue précédemment ω B et la
fréquence cyclotron Ω c .
Equation de Vlasov
Dans le formalisme Hamiltonien, l’équation de Vlasov s’écrit formellement le manière
suivante :
∂ t F + ∂ θ H∂ L F + ∂ χ H∂ J F + ∂ L H∂ θ F + ∂ J H∂ χ F = 0 (8.40)
Si maintenant suivant notre idée de perturbation d’un équilibre, on écrit F = F 0 + f et
H = H 0 + h, on peut développer cette équation. Par construction, l’équation à l’ordre 0 est