Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

8.3 Pompage magnétique 133
vérifiée. Si ensuite on perturbe l’équation 8.40, on obtient pour la fonction de distribution
perturbée :
∂ t f + Ω K ∂ θ f + ω B ∂ χ f = − (∂ θ h∂ L F 0 + ∂ χ h∂ J F 0 ) (8.41)
Cette équation est formellement identique à l’équation 8.28 obtenue dans le cas balistique
à un degré de liberté, mais avec ici plus de degrés de liberté. En particulier, ω B est une
fonction de µ. A priori, ω B est aussi fonction de J 8 .
D’autre part, l’excitation par l’onde spirale est bien sinusoïdale en θ et en temps, mais
elle ne l’est pas le long des trajectoires, le long des lignes de champ. Elle reste néanmoins
périodique, mais avec un spectre plus riche de fréquences. Il faut donc a priori sommer sur
toutes ces fréquences.
Ce calcul plus général est présenté en annexe E. On y établit que le disque peut fournir
à la couronne l’énergie suivante :
P = − 1 2
∫ ∑
n
|µb n | 2 D nm δ(ω e − mΩ K − nω B )dµdJdL (8.42)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
où la somme porte sur toutes les résonances et
La résonance
D nm = n 2 ω B ∂ J F 0 + m 2 Ω K ∂ L F 0 (8.43)
Cette formule est très similaire à l’équation 8.35 et contient toute l’information sur les
résonances. Ces dernières apparaissent par la fonction δ : seules les particules qui vérifient :
ω e − mΩ K − nω B = 0 (8.44)
sont concernées par le chauffage. La contribution de toutes les autres dans cette intégrale est
nulle. Essayons donc de caractériser ces particules résonnantes. La fréquence temporelle ω e
étant fixée, la résonance est influencée par deux effets :
• La rotation différentielle :
La rotation étant différentielle, la fréquence de l’onde spirale dans le repère tournant : ω e −
mΩ K dépend du rayon. Dans l’expression 8.42, cela se traduit par une dépendance en L. A
tout autre paramètre fixé, il existera donc un rayon privilégié où les particules sont résonantes.
• L’oscillation le long des lignes de champ :
La fréquence d’oscillation des particules dans la couronne, comme nous l’avons vu, dépend
de l’inclinaison des lignes de champ et du moment magnétique des particules considérées :
ω B (θ, µ). L’inclinaison des lignes de champ peut dépendre du rayon. Son influence dans la
sélection de particules résonantes rejoint donc celle de la rotation différentielle. Mais ω B
dépend aussi de µ, ce qui implique qu’à tout autre paramètre fixé, seules les particules de
bon µ peuvent résonner. La fréquence ω B dépend aussi de J, c’est-à-dire de la distribution
en vitesse parallèle. Mais en bonne approximation, le potentiel peut être considéré comme
harmonique, et ω B donc indépendant de J.
• Au bilan :
La question est donc de savoir, étant donné une fonction de distribution et une structure
magnétique, combien de particules satisfont aux conditions de résonance. Dans la région
8 C’est vrai dans le cas général. Cependant, nous avons vu que le puits de potentiel dans lequel les particules
de la couronne oscillent est quasiment périodique. Dans cette limite et à µ donné, toutes les particules oscillent
donc avec la même fréquence, quelle que soit leur vitesse parallèle v ‖ et donc quelle que soit J ‖ . Dans ce cas,
ω B ne dépend donc pas de J ‖ , ce qui modifie légèrement l’analogie avec le cas simple.