Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.2 Formes variationnelles fluides 143
Lagrangien
Dans ce cas, on peut facilement montrer (et c’est un résultat très classique), que le Lagrangien
est simplement la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système :
L = K − W (9.4)
L = K − W (9.5)
Dans un système MHD idéal, soumis en outre à la gravité, les énergies cinétique et potentielle
spécifiques sont simplement :
K = 1 2 ρv2 (9.6)
W =
1
γ − 1 P + 1 2 B2 + ρΦ G (9.7)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Extrêmalisation
Pour vérifier que ce Lagrangien décrit bien le système d’équations MHD et les conditions
aux limites, il faut extrêmaliser l’action correspondant à ce Lagrangien. Pour cela, il faut
se définir un jeu de champs décrivant le système. On peut a priori en définir autant qu’on
veut, résultant après variation en d’autant d’équations. Le plus souvent, les variables utilisées
sont les trois variables décrivant la position des éléments fluides en fonction du temps. Les
équations obtenues par la variation de l’action sont donc au nombre de 3 également : les trois
composantes de l’équation d’Euler. Avec ces champs, la variation consiste à perturber la position
des éléments de fluide d’une quantité arbitraire ⃗ ξ appelée déplacement Lagrangien :
⃗x → ⃗x + ⃗ ξ.
En supposant ce déplacement infinitésimal, on peut linéariser toutes les grandeurs par
rapport à lui. La densité de Lagrangien au premier ordre en ⃗ ξ est alors :
L 1 = 1 2 ρ 1v 2 0 + ρ 0 ⃗v 1 .⃗v 0 − 1
γ − 1 P 1 − ⃗ b 1 . ⃗ B 0 − ρ 1 Φ G (9.8)
Les quantités perturbées de la vitesse, du champ magnétique, de la densité et de la pression
sont respectivement obtenues par la définition de la vitesse, l’équation d’induction, l’équation
de conservation de la masse et l’équation d’état qui composent le système :
⃗v 1 = ∂ tξ ⃗ + (⃗v0 . ∇) ⃗ ξ ⃗ − ( ξ. ⃗ ∇)⃗v ⃗ 0 (9.9)
⃗ b1 = ∇ ⃗ ( )
× ⃗ξ × B0 ⃗ (9.10)
ρ 1 = −∇.
⃗ ) (ρ 0ξ ⃗ (9.11)
P 1 = −( ⃗ ξ. ⃗ ∇)P 0 − γP 0
⃗ ∇. ⃗ ξ = −
γP 0
ρ 0
⃗ ∇.(ρ0 ⃗ ξ) (9.12)
L’action est simplement l’intégrale de L 1 sur l’espace et le temps. Pour effectuer la variation,
les conditions au limites sont nécessaires. Ici, les parois étant rigides, ces conditions sont
simplement : ⃗ ξ.⃗n = 0, où ⃗n est la normale à la surface. Grâce à ces conditions et quelques
intégrations par partie, on trouve finalement l’expression suivante pour l’action linéarisée :
∫
A =
∫
dt
d 3 x ξ. ⃗ (ρ 0 (∂ t ⃗v 0 + ( ⃗v 0 . ∇)⃗v ⃗ 0 ) + ∇P ⃗ 0 − J ⃗ 0 × B ⃗ )
0 − ρ 0∇ΦG ⃗
(9.13)