Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

9.5 Approche dérive-cinétique 155
cinétiques, être capable de contenir les résultats déjà obtenus en fluide pour les disques
d’accrétion, notamment la résonance de corotation, il est donc nécessaire d’aller jusqu’à cet
ordre du développement. L’équation correspondante est un peu plus compliquée ; et il est
beaucoup plus facile de l’appréhender dans un jeu de variables plus adaptées.
Les variables gyrocinétiques
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
Les variables gyrocinétiques forment un jeu de variables très pratiques pour les approches
de type centre guide. Elles ont principalement été développées dans l’approche gyrocinétique
Rutherford & Frieman (1968), Catto (1978), Catto et al. (1981), mais la méthode driftcinétique
étant très similaire, elle adopte les même variables.
Dans le repère se déplaçant avec le centre guide, le mouvement des particules est une
simple rotation autour des lignes de champ. Il peut donc être intéressant de ne plus décrire la
vitesse perpendiculaire aux lignes de champ par ses deux composantes orthogonales, mais par
son module et sa phase autour de la ligne de champ. Ce changement de variables correspond
à une sorte de passage local de coordonnées cartésiennes à coordonnées polaires dans l’espace
des vitesses perpendiculaires. C’est le principe de base du formalisme gyrocinétique.
De manière générale, plutôt que d’utiliser directement comme variable le module de la
vitesse perpendiculaire |v ⊥ |, on utilise souvent le moment magnétique spécifique 6 : µ = v2 ⊥
2B
de manière à faire apparaître cet invariant adiabatique. De même, la variable d’énergie :
ɛ = 1 2 v2 ‖ + q m Φ E (9.72)
somme de l’énergie cinétique parallèle et de l’énergie potentielle électrostatique, remplace
souvent la variable de vitesse parallèle.
Le changement de variables utilisé est finalement le suivant :
défini par
t → τ ; ⃗x → ⃗x ′ ; ⃗v → (ɛ, µ, φ) (9.73)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
t = τ
⃗x = ⃗x ′
⃗v ⊥ = √ 2µB ⃗e φ
v ‖ = √ ɛ − q/mΦ E
(9.74)
où ⃗n est la direction du champ magnétique, φ est la phase du mouvement cyclotron et
⃗e φ = cos φ⃗e x + sin φ⃗e y est le vecteur tournant de l’espace des vitesse, associé à ce mouvement.
9.5.2 Application aux disques
Pour mémoire, le but de cette approche drift-cinétique est de simplifier l’intégration de
l’équation de Vlasov afin d’obtenir la fonction de distribution perturbée en fonction de champs
magnétiques et électriques donnés, et de la ré-injecter dans la forme variationnelle obtenue
dans la partie précédente. Il faut donc linéariser les équations drift-cinétiques par rapport à
une petite perturbation. Deux développements sont donc faits en parallèle : un développement
perturbatif par rapport à l’amplitude des champ perturbés et un développement drift-cinétique
par rapport aux variations temporelles et spatiales.
6 Par rapport au moment magnétique défini dans le chapitre 8.2.2, cette définition ne fait plus apparaître
la masse de la particule