Chauffage Compressionnel de l'Environnement des Disques ...

140 Forme variationnelle cinétique
et se stabiliser à la position de départ sous l’effet de forces de rappel ou bien au contraire va
t-il s’en écarter de plus en plus de manière instable
L’analyse complète, c’est-à-dire non-linéaire, est toujours, ou presque, extrêmement complexe.
On se restreint donc souvent à une analyse locale de la stabilité consistant à travailler
sur les équations linéarisées au voisinage des valeurs d’équilibre. Bien sûr, la réponse du
système à des perturbations d’amplitude finie peut être très différente de celle à des perturbations
d’amplitude infinitésimale. Considérons en effet une bille roulant sous l’effet de
son propre poids sur une surface donnée (voir figure 9.1). Lorsque la bille se trouve dans un
a)
c)
tel-00011431, version 1 - 20 Jan 2006
b)
Fig. 9.1 – Cette figure représente 4 situations différentes. Les schémas a) et b) correspondent
respectivement à des situations stable et instable, que ce soit pour des perturbations infinitésimales
ou bien d’amplitude finie. Les deux autres schémas c) et d) représentent respectivement
une situation localement instable mais qui peuvent se stabiliser dans un équilibre
voisin et au contraire, et un équilibre localement stable mais instable à des perturbations
d’amplitude finie.
extremum local, elle est à l’équilibre. Selon la nature de cet extremum, cet équilibre peut
être stable ou instable : un maximum est instable (cas b) et un minimum stable (cas a). Cependant,
on voit clairement que l’analyse locale ne permet pas de décrire la stabilité globale
du système : si on perturbe la bille avec une amplitude suffisamment grande son comportement
peut être complètement différents de celui prédit à partir de l’analyse locale. Dans
le cas d’un minimum local, une bille poussée suffisamment fort peut finalement posséder un
comportement instable (cas d) ; et inversement, une bille initialement située en un extremum
local peut se stabiliser lorsque l’amplitude de son déplacement devient plus grande (cas c).
On peut alors parler de saturation. Au vue des connaissances actuelles, un système ne peut
posséder une énergie cinétique ou potentielle infinie ; il ne peut donc pas être instable de
manière parfaitement globale : toute instabilité locale doit finir par stopper sa croissance à
un moment ou à un autre, sous l’action d’effets non-linéaires.
Dans la plupart des cas, une instabilité locale modifie cependant significativement les
propriétés du système avant que les phénomènes non-linéaires et la saturation n’entrent en
jeu. Dans le cas des instabilités spirales des disques par exemple, l’analyse linéaire prédit une
croissance exponentielle du contraste de densité entre les bras spiraux et les zones d’entre-bras.
Cette croissance ne s’effectue pas ad vitam aeternam et des processus non-linéaires finissent
par saturer l’amplitude des bras spiraux. Le contraste de densité atteint cependant une niveau
suffisamment fort pour être observable. Dans ce cas, l’étude locale de la stabilité permet donc
de bien comprendre la formation de ces systèmes. L’analyse linéaire est finalement devenue
d)