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Modèle nonlinéaire à classes latentes 2 1175.2 Estimation du modèle5.2.1 VraisemblanceNotons θ, l’ensemble des paramètres du modèle conjoint. En tenant compte del’hypothèse d’indépendance conditionnelle entre les marqueurs longitudinaux et ledélai de survie, et en utilisant la décomposition suivant les classes latentes, la contributionindividuelle L i à la vraisemblance du modèle conjoint peut s’écrire de lamanière suivante :L i (θ) =G∑P (c ig = 1; θ)f(y i | c ig = 1; θ)λ(T i | c ig = 1; θ) E iS(T i | c ig = 1; θ) (5.7)g=1où P (c ig = 1; θ) = π ig est défini suivant le modèle multinomial : π ig =eξ 0g+X 3i ξ 1g∑ Gl=1 eξ 0l+X 3i ξ lg,et le risque λ(T i | c ig = 1; θ) ainsi que la survie S(T i | c ig = 1; θ) sont définis selon lemodèle de Weibull.La densité des marqueurs longitudinaux dans la classe latente g, f(y i | c ig = 1; θ),est le produit de la densité multivariée normale φ g (ỹ i ; θ) de la variable transforméeỹ i et du jacobien des transformations des marqueurs J(y i ; θ) :f(y i | c ig = 1; θ) = f(ỹ i | c ig=1 ; θ)J(y i ; θ)= φ g (ỹ i ; θ)J(y i ; θ)(5.8)De là, la log-vraisemblance L(θ) du modèle conjoint incluant un modèle de surviepour l’événement a l’écriture analytique suivante :L(θ) =(N∑ G)∑ln π ig × φ g (ỹ i ; θ) × (ζ 1g ζ 2g (ζ 1g T i ) ζ2g−1 e X 4iδ g) E ie −(ζ 1gT i ) ζ2g e X 4i δgi=1 g=1N∑− ln (J(y i ; θ)) (5.9)i=1Les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆθ sont alors obtenus en maximisantcette expression à l’aide de l’algorithme de Marquardt présenté précédemment.