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Etat des connaissances 53en tant que variables explicatives :λ(t|x i ; u i ) = λ 0 (t) exp(x i γ + g(u i , t)δ) (2.21)où λ 0 (t) est le risque instantané de base (paramétrique ou non), x i est le vecteurde variables explicatives associé au vecteur d’effets fixes γ, et δ est le vecteur deparamètres reliant le marqueur au risque instantané d’événement. En particulier, siδ = 0 alors le marqueur et l’événement sont indépendants l’un de l’autre.Le plus souvent, les fonctions des effets aléatoires sont des combinaisons linéairesdes effets aléatoires traduisant l’association entre l’événement et une caractéristiquede l’évolution du marqueur telle que la valeur courante ou la pente courante du marqueur(Yu et al., 2004). Un exemple consiste à introduire dans le modèle de survie lavaleur réelle du marqueur : g(u i , t) = E(Y i | u i ) = X ij β +Z ij u i (Wulfsohn et Tsiatis,1997 ; Law et al., 2002). Henderson et al. (2000) ont aussi généralisé cette approcheen introduisant des processus Gaussiens corrélés dans le modèle longitudinal et dansle modèle de survie.Estimation des paramètresDans le modèle à effets aléatoires partagés, l’hypothèse d’indépendance du marqueuret de l’événement conditionnellement aux effets aléatoires permet d’écrire ladistribution conjointe du marqueur et de l’événement :∫f(Y, T ) = f(Y, T |u)f(u)duu∫(2.22)= f(Y |u)f(T |u)f(u)duuEn notant E i l’indicateur binaire d’événement, la vraisemblance du modèle s’écriten utilisant cette décomposition (Hogan et Laird, 1997) :N∏∫L(θ; (Y, T )) = f(Y i |u i ; θ)λ(T i |u i ; θ) E iS(T i | u i ; θ)f(u i ; θ)du i (2.23)u ii=1où f(Y i |u i ) est une densité multivariée normale d’espérance E(Y i | u i ) = X ij β+Z ij u iet de variance σ 2 I ni , f(u i ) est une densité normale d’espérance nulle et de variance