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Etat des connaissances 24où X i est la matrice de taille n i ×p contenant les variables explicatives (et notammentle temps) et associée au vecteur d’effets fixes β. Z ijest une sous-matrice de X ide taille n i × q associée aux effets aléatoires u i propres à chaque sujet et ɛ i est levecteur d’erreurs. Les erreurs ɛ i sont indépendantes des effets aléatoires u i . Les effetsaléatoires u i sont distribués suivant une loi normale d’espérance 0 et de matrice devariance-covariance D : u i ∼ N (0, D). Les erreurs ɛ ij contenues dans le vecteur ɛ isont normales centrées de variance Σ i . La plupart du temps, les erreurs de mesuressont indépendantes entre elles et de même variance (Σ i= σ 2 I ni ) mais on peutaussi les supposer corrélées entre elles afin de tenir compte de la corrélation entreles mesures répétées d’un même sujet. Une structure de corrélation classique est lastructure auto-régressive à l’ordre p dans laquelle l’erreur de mesure au temps t ijdépend des p précédentes erreurs de mesures.Le modèle linéaire mixte peut s’écrire de manière marginale :Y i ∼ N ( X i β, V i = Z i DZ T i + Σ i)(2.2)C’est cette écriture marginale qui est utilisée pour estimer le vecteur de paramètresdu modèle θ contenant le vecteur d’effets fixes β, les éléments de D et leséléments de Σ i . En effet, à partir de l’expression (2.2) la vraisemblance du modèles’écrit :L(θ) =N∏i=1( ) ni /2 (1|V i | −1/2 exp − 1 )2π2 (Y i − X i β) T V −1i (Y i − X i β)(2.3)Les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres θ sont obtenusen maximisant le logarithme de la vraisemblance (2.3) par une méthode itérative.Deux algorithmes sont très utilisés : l’algorithme EM (Dempster et al., 1978) et l’algorithmede Newton-Raphson (Fletcher, 2000, chapitre 3). L’algorithme de Newton-Raphson est souvent préféré pour sa rapidité de convergence comparée à celle del’EM (Lindstrom et Bates, 1988). Aujourd’hui, le modèle linéaire mixte est devenula méthode classique pour étudier les changements au cours du temps des variablesquantitatives et des procédures d’estimation sont disponibles dans tous les logicielsde statistiques, la plus connue étant la procédure MIXED sous SAS.