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Etat des connaissances 26Présentation du modèle linéaire mixte bivariéPour chaque sujet i, on dispose des vecteurs d’observation Y 1i = (Y 1i1, ..., Y 1in i1)et Y 2i = (Y 2i1, ..., Y 2in i2). Le modèle linéaire mixte défini en (2.1) s’écrit pour chaquemarqueur k = 1, 2 :Y ki = X k i β k + Z k i u k i + ɛ k i (2.4)où les matrices X k i et Z k i sont des matrices de variables explicatives associées respectivementau vecteur d’effets fixes β k et au vecteur d’effets aléatoires u k i ; ɛ k i est levecteur d’erreurs. En considérant le vecteur de réponses conjoint Y i = (Yi1T , Yi 2T ) T ,le modèle linéaire mixte bivarié est défini de la manière suivante :⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛Y i = ⎝ Y i1⎠ = ⎝ X1 i 0⎠ ⎝ β1⎠ + ⎝ Z1 i 0⎠ ⎝ u1 i⎠ +Yi2 0 Xi2 β 2 0 Zi2 u 2 i⎝ ɛ1 iɛ 2 i⎞⎠ (2.5)Par cette écriture du modèle bivarié, on retrouve l’expression d’un modèle linéairemixte classique Y i = X i β + Z i u i + ɛ i dans lequel :⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞X i = ⎝ X1 i 0⎠ , Z i = ⎝ Z1 i 0⎠ , β = ⎝ β1⎠ , u i =0 Xi2 0 Zi2 β 2⎛⎝ u1 iu 2 i⎞⎠ et ɛ i =⎛⎝ ɛ1 iɛ 2 i⎞⎠Estimation du modèleLa vraisemblance de ce modèle s’écrit de manière analogue à celle d’un modèlelinéaire mixte simple donnée en (2.3). L’estimation des paramètres peut donc êtreréalisée par le même type de procédure de maximisation de la vraisemblance quedans le cas univarié. Dans le cadre multivarié, plusieurs algorithmes ont été proposés: un algorithme EM (Shah et al., 1997), un algorithme de Fisher-scoring (Syet Taylor, 1997) ou un algorihtme de type Newton-Raphson (Thiébaut et al., 2002).Une approche Bayésienne a aussi été proposée (Matsuyama et Ohashi, 1997). Enutilisant l’analogie avec le modèle linéaire mixte univarié, ce modèle peut aussi êtreimplémenté dans les logiciels statistiques classiques (Thiébaut et al., 2002).