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Modèle nonlinéaire à classes latentes 2 1235.3.3 Choix du critère de lissageL’estimation du paramètre de lissage κ représente la difficulté majeure de cetteapproche par rapport au modèle. On peut choisir de fixer le paramètre de lissageκ, auquel cas la log-vraisemblance pénalisée peut être maximisée de manière classiquepar l’algorithme de Marquardt. Cependant, choisir κ de manière subjectivepeut se révéler délicat car son ordre de grandeur dépend beaucoup des données. Ilpeut donc être plus intéressant d’estimer le paramètre de lissage afin d’obtenir uneméthode automatique d’estimation du modèle par vraisemblance pénalisée. La validationcroisée permet d’estimer le paramètre κ. Elle consiste à optimiser suivant κ,la somme des contributions individuelles à la log-vraisemblance L i de chaque sujeti à partir des estimateurs, ˆθ −i , obtenus en excluant le sujet i :V (κ) = − 1 NN∑L i (ˆθ −i , κ) (5.19)i=1Pour chaque valeur de κ, cette méthode nécessite l’estimation d’autant de modèlesque de sujets dans l’échantillon. Elle est donc extrêmement coûteuse en temps decalcul. Une approximation de V (κ) a été proposée par O’Sullivan (1988) et étendueaux données tronquées et censurées par Joly (1996). Il s’agit d’approcher les paramètresˆθ −i à partir de l’estimateur obtenu sur l’échantillon entier ˆθ afin d’éviterl’estimation des N modèles par valeur de κ. Cette technique consiste à approcherla quantité V (κ) par un développement du premier ordre de L i (ˆθ −i , κ) autour deL(ˆθ, κ), la log-vraisemblance à l’optimum pour l’ensemble de l’échantillon :¯V (κ) = − 1 (( [Ĥ ] ))−1L(ˆθ, κ) + trace − 2κΩ ĤN(5.20)où Ĥ est la matrice Hessienne à l’optimum pour l’ensemble de l’échantillon et Ω est lamatrice des dérivées secondes par rapport aux paramètres du terme de pénalisation.Cette méthode basée sur l’optimisation de ¯V (κ) nécessite uniquement l’estimationdu modèle sur l’échantillon entier pour chaque valeur de κ. L’estimateur ˆκ est