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Modèle nonlinéaire à classes latentes 2 122pénalisation par la dérivée seconde de la fonction de risque, nous avons opté dansce travail pour des M-splines d’ordre 4, c’est à dire des polynômes de degré 3 pourdécrire la fonction de risque.5.3.2 Vraisemblance pénaliséeLa log-vraisemblance pénalisée est la somme de la log-vraisemblance classiquedes observations dans le modèle et d’une pénalité qui est d’autant plus grande quela fonction à estimer a des variations locales importantes. Les estimateurs des paramètresobtenus en maximisant la log-vraisemblance pénalisée représentent donc lemeilleur compromis entre adéquation aux données et lissage de la courbe à estimer.Dans notre travail, la fonction à lisser étant la fonction de risque, nous pénalisonsla log-vraisemblance par la norme L 2 de la dérivée seconde du risque λ 0 (.). La logvraisemblancepénalisée a donc la forme suivante :∫L p (θ; κ) = L(θ) + κ λ ′′0(u; θ) 2 du (5.18)toù κ est le paramètre de lissage qui contrôle le poids donné à la pénalisation parrapport à la log-vraisemblance. L’intégrale ∫ t λ′′ 0(u; θ) 2 du calculée sur le support destemps d’observation est la norme L 2 de la dérivée seconde de la fonction de risque.La log-vraisemblance L(θ) a la même forme que celle présentée précédemment enéquations (5.9) ou (5.12) à la différence près que le risque λ(T i ; θ) et les fonctionsde survie S(T i ; θ) et S(T 0i ; θ) sont définis à partir de fonctions splines par (5.16) et(5.17).Pour réduire le nombre de paramètres à estimer, nous n’avons pas considéré lemodèle de survie stratifié sur les classes latentes dans l’approche semi-paramétrique.Nous estimons la fonction de risque dans la classe de référence et supposons que lesrisques dans les autres classes sont proportionnels.