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Modèle nonlinéaire à classes latentes 2 1215.3.1 Risque d’événement modélisé par des fonctions splinesLes B-splines sont des fonctions polynomiales par morceaux que l’on combinede manière linéaire pour approcher une fonction inconnue sur un intervalle. Leurméthodologie et leurs applications ont été décrites par De Boor (1978). Dans cetravail, nous utilisons des versions normalisées des B-splines, appelées M-splines. LesM-splines sont particulièrement bien adaptés pour modéliser la fonction de risque. Eneffet, ce sont des fonctions positives ou nulles qui peuvent approcher le risque λ 0 (t)et leurs primitives, les I-splines, sont des fonctions monotones croissantes adaptéespour approcher le risque cumulé Λ 0 (t) = ∫ t0 λ 0(u)du qui est utilisé dans le calcul dela fonction de survie. Les M-splines et I-splines ont été décrits dans plusieurs travaux(Ramsay, 1988 ; Joly, 1996).Notons t 1 , ..., t T , la séquence de noeuds des splines et k l’ordre des splines. Les M-splines et les I-splines d’ordre k sont respectivement des polynômes de degré k − 1et de degré k. A partir de la séquence des T noeuds, m fonctions splines M i etI i (i = 1, m) sont définies par des équations de récurrence détaillées dans Ramsay(1988) et associées à un coefficient ζ i à estimer, le nombre de paramètres m à estimerétant T + k − 2. Les fonctions de risque λ(.) et Λ(.) sont ensuite définies comme unecombinaison linéaire des m fonctions splines :m∑λ(.) = ζ i M i (5.16)Λ(.) =i=1m∑ζ i I i avec ζ i ≥ 0 (5.17)i=1Une fonction estimée sur une base de splines peut avoir une grande variabilitélocale, surtout lorsque le nombre de noeuds est important. En épidémiologie,la fonction de risque n’a généralement pas de raison d’avoir des variations localesimportantes. Une manière de limiter les variations locales est de pénaliser la vraisemblancedu modèle pour privilégier les fonctions de risque lisses. La pénalisationest basée sur la dérivée seconde de la fonction à lisser. Comme nous utilisons une