(NTH) Bericht 2011–2012 - TU Clausthal

144
Multivariate Modellierung in Finanz- und
Versicherungsmathematik
In diesem Projekt, das von den Instituten für Stochastik
der TU Braunschweig und der Leibniz Universität
Hannover durchgeführt wurde, ging es um
Modellierungsfragen und Grundlagenforschung für
Finanz- und Versicherungsmathematik zugrundeliegende
Prozesse. Spezifi sch wurden vier Teilprojekte
behandelt, nämlich multivariate verallgemeinerte
Ornstein-Uhlenbeckprozesse, Statistische
Tests bei multivariaten Ordnungen, Statistik für
Volatilitätsmodelle und Copulas, sowie multivariate
Prozesse in der Versicherungsmathematik. Im Folgenden
soll nur ein kleiner Ausschnitt der erzielten
Ergebnisse genauer beschrieben werden, wobei
wir uns zunächst auf verallgemeinerte Ornstein-
Uhlenbeckprozesse konzentrieren.
Um ein Beispiel für eindimensionale verallgemeinerte
Ornstein-Uhlenbeckprozesse zu geben,
betrachten wir zunächst das klassische Cramer-
Lundbergmodell. Darin wird das Vermögen Vt einer Versicherung zur Zeit t modelliert durch
wobei v das Startkapital ist, p die Prämienrate, N 0 t
die Anzahl der Schäden bis zum Zeitpunkt t und Yi die Höhe des i-ten Schadens. Üblicherweise wird
davon ausgegangen, dass die Schadenhöhen
identisch verteilt und unabhängig sind und dass
(N ) einem Poissonprozess folgt. Defi niert man
t t≥0
Lt := pt − �Nt i=1 Yi, so schreibt sich obige
Gleichung als V = v + L , oder dV = dL und V t 0 t t t 0
= v . Das Cramer-Lundbergmodell beinhaltet nicht
0
den Fall, in dem die Versicherung ihr Vermögen
investiert. Eine Möglichkeit, so etwas einzubauen,
BOTTOM-UP-PROJEKT
Nt �
Vt = v0 + pt − Yi,
Yi
k=1
wurde von Paulsen [5] gegeben, der das Vermögen
einer Versicherung durch die stochastische
Differentialgleichung
V0 = v0, dVt = Vt−dUt + dLt
(1)
modelliert hat. Hierbei ist (L ) wie oben beschrie-
t t≥0
ben, und (U ) beschreibt den Renditenprozess
t t≥0
eines Marktes. Die Versicherung investiert ihr Vermögen
also in den durch U beschriebenen zufälligen
Markt und erhält durch den durch L beschriebenen
Prozess Prämieneinnahmen und begleicht
Schäden. Betrachtet man in Gleichung (1) (U,L)
als bivariaten Lévyprozess, also als einen bivariaten
Prozess mit unabhängigen und identisch
verteilten Zuwächsen, so defi niert (1) einen eindimensionalen
verallgemeinerten Ornstein-Uhlenbeckprozess.
Er hat nicht nur Anwendungen in
der Versicherungsmathematik, sondern zum Beispiel
auch in der Finanzmathematik als zeitstetiger
GARCH Prozess, genannt COGARCH.
Ein Ziel des Projekts war es, sinnvoll multivariate
Verallgemeinerungen des verallgemeinerten
Ornstein-Uhlenbeckprozesses zu defi nieren. Was
aber ist mit „sinnvoll“ gemeint? Eine einfache Variante
wäre sicher, in (1) einfach geeignete multivariate
Lévyprozesse einzusetzen und dann das
Ergebnis zu untersuchen. Etwas besser erscheint
aber das folgende Vorgehen: Ein verallgemeinerter
Ornstein-Uhlenbeckprozess zeichnet sich
dadurch aus, dass der Prozess für alle h > 0 eine
Rekurrenzgleichung der Form
Vnh = A (h)
n V (n−1)h + B (h)
n , n ∈ N,
(2)