(NTH) Bericht 2011–2012 - TU Clausthal

erfüllt, wobei die Koeffi zienten (A (h)
n ,B (h)
n )n∈N
eine unabhängige und identisch verteilte Folge
von Zufallsvektoren in R2 bilden. Die Idee war es
nun, dies als die entscheidende Eigenschaft eines
verallgemeinerten Ornstein-Uhlenbeckprozesses
zu identifi zieren und in Analogie zu versuchen, alle
d-dimensionalen Prozesse (V ) zu charakterisie-
t t≥0
ren, die zu jedem h > 0 eine Rekurrenzgleichung
der Form (2) erfüllen mit unabhängigen und identisch
verteilten Koeffi zienten (A (h)
n ,B (h)
n )n∈N
aus Rdxd × Rd . In [2] konnte gezeigt werden, dass
dies gerade zur stochastischen Differentialgleichung
V0 = v0, dVt = dUt Vt− + dLt,
(3)
mit Lévyprozessen (U,L) führt, welche auch gelöst
werden konnte. Die so defi nierten verallgemeinerten
Ornstein-Uhlenbeckprozesse konnten auf
verschiedene Eigenschaften wie Stationarität,
Momentenbedingungen und andere hin unter-
sucht werden und weiter verallgemeinert werden.
Es hat sich gezeigt, dass verallgemeinerte
Ornstein-Uhlenbeckprozesse insbesondere zu
COGARCH(p,q)-Modellen führen, also zeitstetigen
GARCH-Modellen höherer Ordnung. Spezifi
sche Untersuchungen für Anwendungen zum
Beispiel in der Versicherungsmathematik sollen
in der Zukunft erfolgen. Als zweites Beispiel der
erzielten Ergebnisse wollen wir nun das Projekt
Statistische Tests bei multivariaten Ordnungen
genauer beleuchten. In der Risikotheorie wird ein
Risiko durch eine Zufallsvariable beschrieben und
multivariate Risiken durch Zufallsvektoren. Eine
sich natürlich aufdrängende Frage ist, welches
zweier Risiken das größere ist? Bevor man diese
Frage beantwortet, muss man allerdings erst klären,
wann ein Risiko überhaupt als größer als ein
anderes bezeichnet werden kann. Natürlich sind
nicht alle Risiken vergleichbar, und bei multivariaten
Risiken ist es noch komplizierter. Ein Ansatz
BOTTOM-UP-PROJEKT
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