COSMOS

Apêndice 2Os Cinco Sólidos PitagóricosUm polígono (palavra grega para "muitos ângulos") regular é uma figura bidimensional com umnúmero n, qualquer, de lados iguais. Se n = 3, temos um triângulo equilátero; n = 4, um quadrado; n = 5,um pentágono, etc. Um poliedro (palavra grega para "muitos lados") é uma figura tridimensional, todasas suas faces são polígonos; um cubo, por exemplo, com seis quadrados por faces. Um poliedro simplesou regular não tem nenhuma falha em sua superfície. Fundamental para o trabalho dos Pitagóricos e deJohannes Kepler foi o fato de que, para eles, só havia 5 e somente 5 sólidos regulares. A prova maisóbvia da relação descoberta mais tarde por Descartes e por Leonhard Euler, que relaciona o número defaces, F, com o número de arestas E, e o número de vértices V de um sólido regular:V – E + F = 2 (Equação 2)Em um cubo há 6 faces (F = 6) e 8 vértices (V = 8), e 8 - E + 6 = 2; 14 - E = 2; e E = 12. AEquação (2) prediz que o cubo tem 12 arestas, como na realidade tem. Uma prova geométrica simplesda Equação (2) pode ser encontrada no livro de Courant e Robbins, na bibliografia. Da Equação (2)podemos provar que há somente 5 sólidos regulares:Toda aresta de um sólido regular é definida pelos lados de 2 polígonos adjacentes. Imaginemosnovamente o cubo, onde toda aresta é uma fronteira entre dois quadrados. Se contarmos todos os ladosde todas as faces do poliedro, n F, iremos contar cada aresta duas vezes. Então:nF = 2E (Equação 3)Chamemos r o número de arestas em cada vértice. Para um cubo, r = 3. Também cada aresta conectadois vértices. Se contarmos todos os vértices, r V, estaremos contando cada aresta duas vezes. Então:rV = 2 E (Equação 4)Substituindo V e F das Equações (3) e (4), na Equação (2), encontraremos:2 E 2 E − A + = 2r nSe dividirmos ambos os membros desta equação por 2 E,teremos:1 1 1 1n +r =2 +(Equação 5)ESabemos que n é 3 ou mais, uma vez que o polígono mais simples é o triângulo, com três lados.Também sabemos que r é 3 ou mais, já que, pelo menos, 3 faces se encontram em um dado vértice emum poliedro. Se n e r forem simultaneamente maior do que 3, o membro esquerdo da Equação (5) seriamenor que 2/3 e a equação não seria satisfeita por nenhum valor positivo de E. Então, por uma outrareductio ad absurdum, ou n = 3 e r é 3 ou mais, ou r = 3 e n é 3 ou mais.Se n = 3, a Equação (5) torna-se: (1/3) + (1/r) = (1/2) + (1/E), ou1 1 15 =E +6(Equação 6)Então, neste caso, r só pode ser igual a 3, 4 ou 5. (Se E for 6 ou mais, a equação seria violada.) Agora n= 3, r = 3 designa um sólido no qual 3 triângulos encontram-se em cada vértice. Pela Equação (6) eletem 6 arestas; pela Equação (3) tem 4 faces; pela Equação (4) tem 4 vértices. Claramente ele é apirâmide ou tetraedro; n = 3, r = 4 é um sólido com 8 faces onde 4 triângulos encontram-se em cadavértice, o octaedro; e n = 3, r = 5 representa um sólido