Einführung in die Linguistik

6.3. KOMPOSITIONALE SEMANTIK 131
Ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Wie können wir herausfinden,
ob ein Satz φ kontingent, eine Tautologie oder eine Kontradiktion ist?
Eine Möglichkeit liegt auf der Hand: Wir berechnen den Wahrheitswert von φ für
alle möglichen Belegungen. Sei φ = A ∨ ¬A. Da in diesem Satz nur ein atomarer
Ausdruck, nämlich A vorkommt, müssen wir nur zwei Fälle unterscheiden:
a) A ist falsch. Dann ist — nach der Definition von ¬ der rechte Teil der
Disjunktion wahr und der linke falsch. Also ist φ — nach der Definition
von ∨ — unter dieser Belegung wahr.
b) A ist wahr. Dann ist — nach der Definition von φ der rechte Teil der
Disjunktion falsch und der linke wahr. Also ist φ — nach der Definition
von ∨ — unter dieser Belegung wahr.
Also ist φ eine Tautologie: Der Satz ist unter allen möglichen Belegungen
wahr. Solche überlegungen führt man am besten in Form von Tabellen aus.
Beispiele 86 Beweisen von Tautologien. Wahrheitstafelmethode.
a) (A ∧ (B ∨ C)) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A B C B ∨ C A ∧ (B ∨ C) A ∧ B A ∧ C (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1
b) ¬(A → B) ↔ (A ∧ ¬B)
A B A → B ¬(A → B) ¬B A ∧ ¬B b)
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1
c) (A → B) ∧ ¬B → ¬A
A B A → B ¬B (A → B) ∧ ¬B ¬A c)
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1