Einführung in die Linguistik

142 KAPITEL 6. SEMANTIK
An dieser Stelle würde es in einem Logikkurs nun damit weitergehen, dass
man einen Kalkül (man sagt tatsächlich der Kalkül) der Prädikatenlogik einführen
würde. Wir begnügen uns mit einer Definition und einem Beispiel.
Definition 395 Kalkül. Ein Kalkül K ist eine formale Theorie einer (Logik-
) Sprache L. Er besteht aus einer Menge von Axiomen und einer Menge von
Ableitungsregeln (oder Deduktionsregeln), die — falls der Kalkül vollständig und
widerspruchsfrei ist, alle Tautologien von L rekursiv definieren. Ein Beweis in
einem Kalkül besteht aus einer Reihe von Ausdrücken A 1 , ..., A n , so dass jeder
Ausdruck A i entweder ein Axiom des Kalküls ist, oder durch eine Ableitungsregel
aus seinem Vorgängersatz A i−1 erzeugt worden ist. (Man arbeitet also mit
Kalkülen im Prinzip genau so wie mit Phrasenstrukturgrammatiken.)
Definition 396 vollständiger Kalkül.
mit K alle L-Tautologien herleitbar sind.
Kalkül K über Sprache L, so dass
Definition 397 widerspruchsfreier Kalkül. Kalkül K über Sprache L,
so dass mit K nur L-Tautologien herleitbar sind.
Beispiel 92 Kalkül. (Nach [59, 96].)
a) Axiome von L
1. A → (B → A)
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
3. (¬A → ¬B) → (B → A)
4. ∀x(A[x]) → A[a]
b) Deduktionsregeln von L
1. Aus Sätzen A und A → B kann man den Satz B gewinnen.
2. Aus einem Satz A → B[a] kann man den Satz A → ∀x(B[x]) gewinnen,
wenn die Individuenkonstante a in der Konklusion dieser Regel
nicht vorkommt.
Vielleicht fragt sich mancher, wie dieser Kalkül vollständig sein kann, d.h.
wie es möglich sein kann, dass alle prädikatenlogisch wahren Sätze mit ihm
beweisbar sind, wo doch die Junktoren ∧, ∨, ↔ und der Existenzoperator ∃
überhaupt nicht in den Axiomen vorkommen. Das liegt daran, dass man man
den Existenzoperator durch den Alloperator und die Junktoren ∧, ∨ und ↔
durch ¬ und → definieren kann:
∃x(A[x]) := ¬∀x(¬A[x])
A ∧ B := ¬(A → ¬B).
Definition der restlichen Junktoren: Übung.