Einführung in die Linguistik

136 KAPITEL 6. SEMANTIK
b) Ein Linguist schläft.
S(ein_linguist) bzw. *S(l)
c) Hans schläft.
S(h)
Wir müssen in b) erst alle Prädikate explizit machen, bevor wir es in die
Prädikatenlogik übersetzen können. Wir paraphrasieren b) durch d):
d) Es gibt (mindestens) ein x, so dass gilt: x ist ein Linguist und x schläft.
Damit analysieren wir “Linguist” als Prädikat. Nun können wir b) formalisieren:
e) ∃x(L(x) ∧ S(x))
Satz f) können wir allerdings nicht völlig analog übersetzen:
f) Alle Linguisten schlafen.
g) ∀x(L(x) ∧ S(x))
Satz g) bedeutet etwas anderes als f), nämlich: “Für alle (Entitäten) x: x ist
ein Linguist und x schläft”. Satz g) wäre also eine Übersetzung für h):
h) Alle (Entitäten) sind Linguisten und alle (Entitäten) schlafen.
In h) steht Entitäten in Klammern, weil man in der Prädikatenlogik normalerweise
einen Grundbereich von Objekten definiert, anhand dessen die Variablen
interpretiert werden. Beispiel: Sei unser Grundbereich G =
{Hans, Fritz, Monika}, dann behauptet man mit h), dass Hans, Fritz und Monika
Linguisten sind und schlafen. Zurück zu Satz f): Wie können wir ihn in die
Prädikatenlogik übersetzen? Zunächst paraphrasieren wir f) durch i):
i) Für alle (Entitäten) x: Wenn x ein Linguist ist, dann schläft x.
i) hat offenbar folgende prädikatenlogische Form:
j) ∀x(L(x) → S(x))
Die Symbole ∀ und ∃ heißen Quantoren. ∀ heißt Allquantor und hat die
Bedeutung “für alle”. ∃ heißt Existenzquantor und hat die Bedeutung “es gibt
(mindestens) ein ...”. Manche Leute schreiben auch den Allquantor ∧ (als große
Konjunktion) und den Existenzquantor ∨ (als große Disjunktion).
Quantoren verwendet man auf folgende Weise: Qφ(). D.h. zu einem Quantor
gehört immer irgendeine Variable φ und ein Skopus, d.h. ein (gewöhnlich
durch Klammern eingegrenzter) Bereich, in dem der Quantor für seine Variable
Gültigkeit hat. Die Vorkommnisse von φ im Skopus von Q nennt man (durch
Q) gebunden. Vorkommnisse von Variablen, die nicht im Skopus eines Quantors
stehen, nennt man frei. Beispiel: In ∀x(R(y) → P (x)) ist y eine freie, x dagegen
eine gebundene Variable. Normalerweise fordert man, dass Variablen gebunden
sein müssen. Denn nur gebundene Variablen sind sinnvoll interpretierbar. Quantoren
leisten in PL ähnliches wie Determinatoren in der natürlichen Sprache.
Im Deutschen beispielsweise kann man nicht sagen *Linguist schläft. In PL sagt
man nicht *(L(x) ∧ S(x), sondern z.B. ∃x(L(x) ∧ S(x)).