Einführung in die Linguistik

6.3. KOMPOSITIONALE SEMANTIK 139
Die Semantik der Prädikatenlogik
Wir verzichten darauf, die Semantik von PL formal zu definieren. Die folgenden
groben und umgangssprachlichen Hinweise sollen genügen:
Anmerkung 66 Semantik der Prädikatenlogik.
a) Ein Ausdruck der Art P (k), wobei k eine Individuenkonstante ist, ist wahr
gdw. k die Eigenschaft P hat.
b) Ein Ausdruck der Art P (k 1 , . . . , k n ), wobei k 1 , . . . k n eine Individuenkonstanten
sind, ist wahr gdw. k 1 bis k n in der Relation P stehen.
c) Ein Ausdruck der Art ∃x(P (x)) ist wahr gdw. es mindestens ein Objekt
mit der Eigenschaft P gibt.
d) Ein Ausdruck der Art ∀x(P (x)) ist wahr gdw. alle Objekte die Eigenschaft
P haben.
e) Die aussagenlogischen Operatoren werden genauso wie in AL interpretiert.
Die formale Definition der Semantik von PL setzt lediglich mengentheoretische
Grundbegriffe voraus. Es treten dabei jedoch einige Komplikationen auf,
auf die hier aus Zeitgründen nicht eingegangen werden kann. Wer es genauer
wissen will, lese z.B. [59, 86f.].
Wie in der Aussagenlogik, gibt es auch in der Prädikatenlogik kontingente
Sätze, Tautologien und Kontradiktionen. Alle Tautologien der Aussagenlogik
sind selbstverständlich auch Tautologien der Prädikatenlogik, da die Prädikatenlogik
die Aussagenlogik als Spezialfall (genauer: als Teilsprache) enthält. Andererseits
sind aber nicht alle prädikatenlogisch wahren Sätze auch Tautologien
der Aussagenlogik. Beispiele für prädikatenlogische aber nicht aussagenlogische
Tautologien bzw. Schlüsse werden im nächsten Abschnitt angegeben.
Gültige Schlüsse und Kalküle
Wir haben bisher den Begriff des Schlusses noch nicht eingeführt. Unter einem
(logischen) Schluss verstehen wir eine Aussagefolge der Art
A 1 , A 2 , ..., A n
also B
Schlüsse schreibt man oft in folgender Form:
A 1
A 2
. . .
A n
B
Die Behauptungen über dem Strich (dem also) nennt man die Prämissen,
die Behauptungen unter dem Strich die Konklusion des Schlusses. Zu jedem
gültigen Schluss gibt es eine äquivalente Tautologie. Deswegen können wir —
obwohl man das normalerweise anders macht — die Gültigkeit von Schlüssen
wie folgt definieren: