Einführung in die Linguistik

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6.3. KOMPOSITIONALE SEMANTIK 139 Die Semantik der Prädikatenlogik Wir verzichten darauf, die Semantik von PL formal zu definieren. Die folgenden groben und umgangssprachlichen Hinweise sollen genügen: Anmerkung 66 Semantik der Prädikatenlogik. a) Ein Ausdruck der Art P (k), wobei k eine Individuenkonstante ist, ist wahr gdw. k die Eigenschaft P hat. b) Ein Ausdruck der Art P (k 1 , . . . , k n ), wobei k 1 , . . . k n eine Individuenkonstanten sind, ist wahr gdw. k 1 bis k n in der Relation P stehen. c) Ein Ausdruck der Art ∃x(P (x)) ist wahr gdw. es mindestens ein Objekt mit der Eigenschaft P gibt. d) Ein Ausdruck der Art ∀x(P (x)) ist wahr gdw. alle Objekte die Eigenschaft P haben. e) Die aussagenlogischen Operatoren werden genauso wie in AL interpretiert. Die formale Definition der Semantik von PL setzt lediglich mengentheoretische Grundbegriffe voraus. Es treten dabei jedoch einige Komplikationen auf, auf die hier aus Zeitgründen nicht eingegangen werden kann. Wer es genauer wissen will, lese z.B. [59, 86f.]. Wie in der Aussagenlogik, gibt es auch in der Prädikatenlogik kontingente Sätze, Tautologien und Kontradiktionen. Alle Tautologien der Aussagenlogik sind selbstverständlich auch Tautologien der Prädikatenlogik, da die Prädikatenlogik die Aussagenlogik als Spezialfall (genauer: als Teilsprache) enthält. Andererseits sind aber nicht alle prädikatenlogisch wahren Sätze auch Tautologien der Aussagenlogik. Beispiele für prädikatenlogische aber nicht aussagenlogische Tautologien bzw. Schlüsse werden im nächsten Abschnitt angegeben. Gültige Schlüsse und Kalküle Wir haben bisher den Begriff des Schlusses noch nicht eingeführt. Unter einem (logischen) Schluss verstehen wir eine Aussagefolge der Art A 1 , A 2 , ..., A n also B Schlüsse schreibt man oft in folgender Form: A 1 A 2 . . . A n B Die Behauptungen über dem Strich (dem also) nennt man die Prämissen, die Behauptungen unter dem Strich die Konklusion des Schlusses. Zu jedem gültigen Schluss gibt es eine äquivalente Tautologie. Deswegen können wir — obwohl man das normalerweise anders macht — die Gültigkeit von Schlüssen wie folgt definieren:
140 KAPITEL 6. SEMANTIK Definition 394 gültiger Schluss. Ein Schluss A 1 , A 2 , ... A n also B ist gültig gdw. der Satz A 1 ∧ A 2 ∧ . . . ∧ A n → B prädikatenlogisch wahr ist. (Um zu sagen, wann genau ein Satz prädikatenlogisch wahr ist, müssten wir allerdings die Semantik von PL formal definieren; vgl. dazu [59, 86f.].)
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Zungenhöhe Abbildung 2.6: Die stan
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208 LITERATURVERZEICHNIS [16] Heinz
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