Einführung in die Linguistik

132 KAPITEL 6. SEMANTIK
Dieses Verfahren funktioniert natürlich im Prinzip immer, ist aber für komplexere
Sätze ziemlich umständlich. Einfacher ist in den meisten Fällen folgendes
Verfahren: Sei φ ein (beliebig komplexer) Satz aus AL, von dem wir nicht
wissen, ob er aussagenlogisch wahr, aussagenlogisch falsch, oder kontingent ist.
Zunächst prüfen wir, ob φ eine Tautologie ist. Dazu nehmen wir an, φ sei falsch.
Wenn es tatsächlich eine Belegung b gibt, so dass φ falsch unter b ist, dann muss
diese Annahme zu einem Widerspruch führen. Falls wir keinen Widerspruch
herleiten können, prüfen wir, ob φ eine Kontradiktion ist. Dazu nehmen wir
an, φ sei wahr. Falls φ tatsächlich eine Kontradiktion ist, werden wir aus der
Annahme einen Widerspruch herleiten. Wenn φ sowohl den Tautologie- als auch
den Kontradiktionstest besteht, ist φ kontingent.
Am einfachsten machen wir es uns, wenn wir das eben beschriebene Verfahren
mit Hilfe von Bäumen anwenden: Für jede Aussage der Art “[wenn A der Fall
ist,], dann ist B und C der Fall” hängen wir an den Baum einen Ast der Form
a) (s.u.). Für jede Aussage der Art “[wenn A der Fall ist,], dann ist B oder C der
Fall´´ hängen wir an den Baum einen Ast der Form b) (s.u.). Ein Widerspruch
ist dann hergeleitet, wenn sich in allen Ästen des Baumes ein Widerspruch ergeben
hat. (D.h.: Wenn sich in jedem möglichen Fall ein Widerspruch ergibt. Denn
die Verzweigungen unseres Baumes repräsentieren ja Fallunterscheidungen.)
B
a)
C
b) B C
Das klingt nun alles viel komplizierter als es ist. Betrachten wir deshalb
einige Beispiele:
Beispiele 87 Widerspruchsbeweise für Tautologien und Kontradiktionen.
a) A ∨ ¬A (eine Tautologie)
A ∨ ¬A : f Wenn A ∨ ¬A falsch ist,
dann muss
A : f A falsch
und
¬A : f ¬A falsch sein. Wenn ¬A falsch ist,
dann muss
A : w A wahr sein.
Widerspruch!