Desenvolvimento de um Veículo Aéreo Não-Tripulado - LARA ...

Os ângulos de Euler também podem representar as diferenças angulares entre dois sistemas
de coordenadas, e através da utilização da matriz Cosseno Direcional e das técnicas citadas em
2.4.1 é possível transformar um sistema de coordenadas em outro, desde que as diferenças sejam
somente rotacionais.
2.5.2 Quaternions
Uma forma alternativa de representar uma orientação no espaço é através dos quaternions,
que são uma extensão do conjunto dos números complexos com três elementos imaginários. Esse
tipo de representação é utilizada com frequência em implementações práticas de algoritmos de
estimação, pois:
• Não possuem singularidades como ângulos de Euler
• Representação mais compacta que matrizes de rotação
• Menor custo computacional na propagação de atitude
O quaternion de norma unitária pode ser interpretado como um vetor no espaço (3 componentes)
e a rotação em torno desse eixo. É essa a forma que é utilizada para representar a atitude de
uma aeronave.
Uma representação compacta de um quaternion é apresentada na equação 2.8. Embora seja
semelhante à notação adequada para vetores-coluna, é preciso ressaltar nem todas as propriedades
de vetores valem para quaternion. Uma abordagem mais detalhada sobre o assunto pode ser vista
em [5, 9].
⎡ ⎤
q 0
q 1
q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k =
, (2.8)
⎢
⎣q 2
⎥
⎦
q 3
Os ângulos de Euler podem ser convertidos em quaternions por:
⎡
⎤
cos(φ/2)cos(θ/2)cos(ψ/2) − sen(φ/2)sen(θ/2)sen(ψ/2)
qn(e b b cos(φ/2)cos(θ/2)sen(ψ/2) + sen(φ/2)sen(θ/2)cos(ψ/2)
n) =
⎢
⎣cos(φ/2)sen(θ/2)cos(ψ/2) − sen(φ/2)cos(θ/2)sen(ψ/2) ⎥
⎦
cos(φ/2)sen(θ/2)sen(ψ/2) + sen(φ/2)cos(θ/2)cos(ψ/2)
(2.9)
A operação inversa é dada por:
⎡
atan2 ( −2q 1 q 2 + 2q 0 q 3 , q0 2
e b n(qn) b + q2 1 − q2 2 − ) ⎤
q2 3
= ⎢
⎣ asen (2q 1 q 3 + 2q 0 q 2 )
⎥
atan2 ( −2q 2 q 3 + 2q 0 q 1 , q0 2 − q2 1 − q2 2 + )
⎦ (2.10)
q2 3
13