Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

5.3 Hubbard–Modell 93
Fermienergie entvölkert werden. Bei größerem U/t hingegen überschätzt schon HF die
Ausschmierung der Besetzungszahlen. Eine weitere Fragmentierung der Ein–Teilchen–
Stärke und damit eine Vergrößerung der Diskrepanz zwischen den exakten und den HF–
Besetzungszahlen kann durch die Korrektur infolge der Selbstenergie erster Ordnung vermieden
werden. Jedoch ist diese Korrektur nicht oder nur sehr begrenzt dazu in der Lage,
diese Diskrepanz zu verringern. Trotzdem führt die Verteilung der Stärke, auch auf höherenergetische
Pole, zu einer Absenkung der Grundzustandsenergie, da die zu Zuständen
mit 2L1T–Charakter gehörenden Energien natürlich zur Gesamtenergie beitragen. Eine
Verbesserung der Resultate für größeres U/t könnte möglicherweise durch die Berücksichtigung
von mehr Polen, also mit einer BAGEL–(p, q)–Näherung mit deutlich größerem p
und q erzielt werden.
Spektroskopische Information
Ein großer Vorteil des SCGF–Verfahrens besteht darin, neben den oben diskutierten Observablen
wie Besetzungszahlen und Grundzustandsenergie, auch Aussagen über die Spektralfunktionen
machen zu können. Die Kenntnis der nicht–trivialen Ein–Teilchen–Greensfunktion
für jedes der N Teilchen ermöglicht neben der Angabe des Anregungsspektrums
eines N ± 1–Clusters auch Aussagen über die Zustandsdichte und damit die energetische
Lokalisierung der Ein–Teilchen–Stärke.
Während in der Kernphysik das Anregungsspektrum von Systemen mit einem Nukleon
weniger (oder mehr) von großer Bedeutung ist, da dieses z. B. über eine (e, e ′ p)–
Reaktion ((α, t)–Reaktion) experimentell zugänglich ist, hat man bei einem so schematischen
Modell wie dem Hubbard–Modell nicht direkt die Möglichkeit einer experimentellen
Überprüfung. Trotzdem ist auch hier eine Angabe der Spektralfunktionen bzw. der Zustandsdichte
von Interesse. Die Loch– (Teilchen–) Spektralfunktionen Sh,α (ω) (Sp,α (ω))
geben die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß durch Entfernen (Hinzufügen) eines Teilchens
im Ein–Teilchen–Zustand α des N–Teilchensystems ein Anregungszustand eines
Systems mit einem Teilchen mehr (weniger) bei einer bestimmten diskreten Energie entsteht.
Beim Hubbard–Modell im Impulsraum ist die Quantenzahl α die Kombination aus
Gitterimpuls k und Spin σ. Bei 12 Gitterplätzen gibt es also 24 verschiedene Quantenzahlen
α und demzufolge auch 24 verschiedene Loch– (Teilchen–) Spektralfunktionen.
Die Zustandsdichte hingegen unterscheidet nicht nach den Quantenzahlen, sondern gibt,
je nachdem ob ωεF ist, die Wahrscheinlichkeit dafür an, ein Teilchen bei
einer bestimmten Energie unabhängig von seiner Quantenzahl entfernen oder hinzufügen
zu können. Für die Zustandsdichte gilt demnach
N (ω) = 1 �
[Sh,α (ω)+Sp,α (ω)] . (5.3.21)
N α
Dies impliziert zusammen mit den Eigenschaften der Spektralfunktion (vgl. Kapitel 2)