Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

4.3 Programmiertechniken 49
Multiplikation lediglich dann durchzuführen hat, wenn die Zeilenpositionen gleich sind,
was gleichbedeutenden mit nichtverschwindenden Matrixeinträgen in beiden Matrizen ist.
Natürlich ist es nicht immer möglich jede Matrix in der geschicktesten Kompressionsart
abzuspeichern, jedoch ist es lohnend die abzuarbeitenden Rechenschritte auch unter diesem
Gesichtspunkt zu betrachten.
Nützt man bei der speziellen Matrix (4.3.1) die Symmetrie aus indem man nur das obere
Dreieck komprimiert abspeichert, handelt man sich damit eine gemischte Darstellung der
Gesamtmatrix ein, da die Transponierte einer zeilenweise komprimierten Matrix folgerichtig
spaltenweise komprimiert ist. Konsequenz davon ist, daß Speicherreduktion unter
Umständen einen erhöhten Rechenaufwand zur Folge hat. Im vorliegenden Fall muß man
das in Kauf nehmen, da die Dimension der speziellen Matrix so groß werden kann, daß
man gezwungen ist, den Speicher bestmöglichst zu optimieren.
Deshalb soll zum Schluß noch anhand der Zahlenbeispiele in Tabelle 4.3.2 illustriert werden,
mit welchen Größenordnungen man es bei Rechnungen für das zweidimensionalen
Hubbard–Modell zu tun hat. Dort ist in der ersten Spalte die Gesamtzahl der Konfigurationen
für das exakte Hubbard–Modell bzw. die Zahl der im SCGF–Verfahren initial
auftauchenden 2T1L– und 2L1T–Konfigurationen angegeben, was gleichbedeutend mit
der Dimension der jeweiligen Matrix ist. In der zweiten Spalte ist der Speicherbedarf der
Gesamtmatrix ohne Speicheroptimierung angegeben. In den Spalten drei und vier ist der
erforderliche Speicherbedarf bei Berücksichtigung der Symmetrie bzw. bei Berücksichtigung
von Symmetrie und anschließender Kompression angegeben. Offensichtlich ist es
unmöglichauchnachbestmöglicher Komprimierung die exakte Matrix überhaupt zu speichern
geschweige denn irgendwelche Rechenoperationen mit ihr auszuführen. Bei einem
zur Verfügung stehenden Hauptspeicher von 8 Gigabyte, über den der Rechner verfügt,
auf dem sämtliche Untersuchungen durchgeführt wurden, stößt man auch beim SCGF–
Konfigurationen gesamt Symmetrie Sym. + Kompr.
exakte Matrix 8.23 × 10 19 5.42 × 10 40 Byte 3.39 × 10 39 Byte 1.65 × 10 20 Byte
SCGF–Matrix 9.45 × 10 5 7.14 × 10 12 Byte 4.46 × 10 11 Byte 1.89 × 10 6 Byte
Tabelle 4.3.2: Vergleich des Speicherbedarfs der exakten und der SCGF–Matrix für unterschiedliche
Kompressionsarten. Die Angaben beziehen sich auf das 6 × 6–Hubbard–
Modell bei halber Füllung.