Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

28 Kapitel 2 Vielteilchenmethoden
Zur Herleitung der projizierten Gleichungen multipliziert man zunächst (2.2.8) mit 〈Φ|.
Mit (2.2.1) und (2.2.2) erhält man nacheinander
�
Φ � � S
�He � �
�
� Φ = �
Φ � � S
�Ee � �
�
� Φ = E 〈Φ|Ψ〉 = E. (2.2.12)
Nun multipliziert man mit (2.2.10) und ersetzt die Energie durch den eben gewonnenen
Ausdruck (2.2.12) was auf
� �
�
Φ �a † ν1aρ1He S� �
�
� Φ − � �
�
Φ �a † ν1aρ1e S� �� �
� ��HeS � Φ Φ
� �
�
� Φ = 0 (2.2.13)
führt. Desgleichen verfährt man mit den 2T2L–Anregungen (2.2.11), mit dem Resultat
� �
�
Φ �a † ν1a† ν2aρ2aρ1He S� �
�
� Φ − � �
�
Φ �a † ν1a† ν2aρ2aρ1e S� �� �
� �
� Φ Φ �He S� �
�
� Φ =0. (2.2.14)
Führt man diese Projektionen bis zu einer nTnL-Konfiguration durch, die der Teilchenzahl
des Systems entspricht (n = N), würden die dazugehörigen Gleichungen genau der
Schrödingergleichung entsprechen und die Lösung des Gleichungsystems wäre exakt. Bei
realistischen Rechnungen beschränktmansichjedochinderRegelaufeinn ≪ N.
Im folgenden soll angedeutet werden, wie man aus den Gleichungen (2.2.13) und (2.2.14)
Beziehungen für die S-Amplituden extrahieren kann. Dazu betrachtet man zunächst den
in beiden Gleichungen auftauchenden Term
� �
�
Φ �He S� �
�
� Φ (2.2.15)
sowie
e S |Φ〉 = |Φ〉 + S1 |Φ〉 + S2 |Φ〉 + 1
2 S2 1
|Φ〉 + ··· (2.2.16)
Der Ausdruck 〈Φ |H| Φ〉 ist als Erwartungswert bezüglich des Startzustands bekannt. Geht
man von einem Zwei–Teilchen–Operator für die Wechselwirkung aus, kann der Hamiltonoperator
als
H = �
k1k2
〈k1 |T | k2〉 a †
k1 ak2 + 1
4
�
k1k2k3k4
� �
�
k1k2 � ¯ � �
�
V � k3k4 a †
k1a† k2ak4ak3 (2.2.17)
geschrieben werden. Betrachtet man einen Summanden des in S1 linearen Terms (2.2.6)
und beschränkt sich zunächst auf den kinetischen Anteil des Hamiltonoperators, so kann
man (2.2.15) mit (2.2.3) umschreiben in
�
〈k1 |T | k2〉〈0| a1 ···aNa
k1k2
†
k1ak2a † aνja† ρi N ···a† 1 |0〉 s (1)
ρiνj
. (2.2.18)
Um den Vakuumserwartungswert der Feldoperatoren zu berechnen bedient man sich des
Wick’schen Theorems [Bau68, Rin80]. Da die Feldoperatoren a1 ···aN allesamt auf Teilchen
unterhalb der Fermikante wirken, a † aber per Definition ein Teilchen über der Fer-
ρi
mikante erzeugt, kann a † ρi nur mit ak2 kontrahiert werden und das Resultat ist einfach
�
〈k1 |T | k2〉 s (1)
δk1νj
δk2ρi . (2.2.19)
ρiνj
k1k2