Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

5.2 Paarwechselwirkung 65
5.2.2 BCS und exakte Lösung im Vergleich
Eine exakte Diagonalisierung des Paarhamiltonoperators und eine Lösung der Gap–Gleichung
(5.2.8) ermöglichen die Angabe der Besetzungszahlen der einzelnen Ein–Teilchen–
Zustände und die Berechnung der Grundzustandsenergie. In Tabelle 5.2.1 sind diese
Größen für verschiedene Paarwechselwirkungsstärken |G| angegeben. Bei der Betrachtung
der Ergebnisse fällt als erstes das triviale Ergebnis für |G| =0.1 auf. Ursache dafür
ist, daß die Gap–Gleichung keine Lösung mit ∆ �= 0 garantiert. Dividiert man die Gap–
Gleichung (5.2.8) auf beiden Seiten durch ∆, so erhält man
1= 1 �
2 k>0
|G|
�
ε2 = f (∆) . (5.2.9)
k +∆2
Eine Lösung ist jetzt nur noch möglich, wenn f (∆) nicht auf Funktionswerte kleiner
1beschränkt ist. Für kleine Wechselwirkungsstärken |G| kann dieser Fall aber eintreten,
so daß die BCS–Theorie kein nicht–triviales Ergebnis liefert. Desweiteren fällt auf,
daß die Differenzen in den vorhergesagten Grundzustandsenergien mit wachsenden Paar-
|G| =0.1 |G| =0.2 |G| =0.3 |G| =0.5
BCS exakt BCS exakt BCS exakt BCS exakt
k ε 0 k 〈nk〉 〈nk〉 〈nk〉 〈nk〉 〈nk〉 〈nk〉 〈nk〉 〈nk〉
1 -1.0 1.0000 0.9970 0.9917 0.9833 0.9522 0.9543 0.8494 0.8740
2 -0.5 1.0000 0.9940 0.9779 0.9675 0.8931 0.9161 0.7528 0.7997
3 0.0 1.0000 0.9812 0.8674 0.9095 0.6952 0.8023 0.5959 0.6506
4 0.5 0.0000 0.0188 0.1326 0.0905 0.3048 0.1977 0.4041 0.3494
5 1.0 0.0000 0.0060 0.0221 0.0325 0.1069 0.0839 0.2472 0.2003
6 1.5 0.0000 0.0030 0.0083 0.0167 0.0478 0.0457 0.1506 0.1260
E0 -3.0000 -3.3441 -3.5679 -3.8087 -3.9825 -4.4308 -5.3220 -6.0946
Tabelle 5.2.1: Vergleich der exakten und der BCS–Ergebnisse für den Paarhamiltonoperator
für verschiedene Wechselwirkungsstärken und 3 Nukleonenpaare in 6 Schalen.
Angaben für |G|, εk und E0 in MeV.