Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

4.3 Programmiertechniken 45
Allerdings ist hier, bei gleicher Teilchenzahl, die Anzahl der Konfigurationen sehr viel
größer als beim Paarhamiltonoperator, was eine exakte Diagonalisierung nur für einen
kleineren Modellraum erlaubt.
Ergebnis einer exakten Diagonalisierung sind, neben der Grundzustandsenergie, Entwicklungskoeffizienten
ci mit deren Hilfe sich die exakte Vielteilchenwellenfunktion als
�
�
�
|Ψ〉 = c1 �
�
1100
1100
� �
�
�
+ c2 �
�
1010
1001
� �
�
�
+ c3 �
�
0110
0101
�
+ ··· (4.2.3)
schreiben läßt. Der Antisymmetrie der Wellenfunktion wird Rechnung getragen, indem
man sich eine Reihenfolge definiert, in der die Fermionen aus dem Vakuum erzeugt werden,
�
�
�
�
�
1100
1010
�
= a †
2↑a† 1↑a† 3↓a† 1↓ |0〉 = −a† 1↑a† 2↑a† 3↓a† 1↓ |0〉 , (4.2.4)
hier also nach ansteigendem Teilchenindex und Spin down vor Spin up. Die zu wählende
Konvention ist beliebig. Wichtig ist nur, daß eine einmal gewählte Reihenfolge im Verlauf
der gesamten Rechnung beibehalten wird. Letzteres ist insbesondere beim Hubbard–
Modell und periodischen Randbedingungen von großer Wichtigkeit, da der rechte Nachbar
des N–ten Gitterplatzes in diesem Fall der erste Gitterplatz ist, und somit Matrixelemente
des kinetischen Energieoperators mit einem zusätzlichen Phasenfaktor behaftet sein
können.
Da die Wirkung eines Operators in zweiter Quantisierung, sei es der Hamiltonoperator
oder der Operator e S , auf einen solchen in Besetzungszahldarstellung gegebenen Zustand
leicht zu bestimmen ist, eignet sich diese Darstellung auch für eine Diagonalisierung mit
dem BAGEL–Verfahren oder eine exp[S]–Rechnung.
4.3 Programmiertechniken
Eines der Ziele der Vielteilchentheorie ist es, eine möglichst große Anzahl von Teilchen
sinnvoll zu beschreiben. Dies ist in der Festkörperphysik essentiell, da ein Kristall aus
einer makroskopischen Anzahl von Atomen besteht. Aber auch mittelschwere bis schwere
Kerne wie Eisen oder Blei, die verglichen mit einem Kristall noch aus einer überschaubaren
Anzahl von Konstituenten aufgebaut sind, stellen den Physiker vor größte Schwierigkeiten,
will er für ein solches System eine Kernstrukturrechnung durchführen.
Obwohl die Leistungsfähigkeit moderner Großrechner kontinuierlich steigt, wird es immer
eine ”kritische” Teilchenzahl geben, die eine optimale Nutzung der Rechnerkapazitäten
erfordert. Obwohl man in vielen Fällen auf parallelisierte und speicheroptimierte Programmbibliotheken
für Standardprozeduren (Matrix–Vektor–Operationen, iterative Löser