Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

12 Kapitel 2 Vielteilchenmethoden
Anregungsspektrum
Die Anregungsenergien des N ± 1–Systems sind die Pole der Greensfunktion (E N±1
n
>
< εF )
in der Lehmann–Darstellung (2.1.3). Die zugehörigen Spektroskopischen Faktoren ergeben
sich aus den Spektralfunktionen (2.1.4) (2.1.5). 5
2.1.3 Die Dyson–Gleichung
Eine diagrammatische Analyse der Störungstheorie zeigt, daß man die Entwicklung der
Ein–Teilchen–Greensfunktion auf Terme reduzieren kann, die durch verbundene Feynman–
Diagramme dargestellt werden können. 6 Eine Analyse dieser Diagramme zeigt, daß die
exakte Greensfunktion aus einem ungestörten Propagator und allen zusammenhängenden
Graphen mit einem freien Propagator an jedem Ende besteht. Diagrammatisch ist dieser
Sachverhalt in Abbildung 2.1.1 dargestellt. Die doppelschraffierte Fläche steht für die
Summe aller zusammenhängenden Graphen und wird reduzible Selbstenergie genannt.
Wäre sie bekannt, könnte die exakte Greensfunktion sofort angegeben werden. Beispiele
für solche zusammenhängenden Graphen sind in Abbildung 2.1.2 zu finden. Mathematisch
formuliert gilt
Gαβ(ω) =gαβ(ω)+ �
gαδ(ω)Σ R δγ (ω)gγβ(ω) . (2.1.18)
δγ
Hier bezeichnet ΣR δγ (ω) die reduzible Selbstenergie. Im Unterschied zur irreduziblen Selbstenergie
tragen zur reduziblen Selbstenergie auch solche Graphen bei, die man durch
Zerschneiden einer einzigen Ein–Teilchen–Linie in ein Diagramm niedrigerer Ordnung
überführen könnte. Daraus folgt, daß die reduzible Selbstenergie die Summe aller
denkbaren Wiederholungen der irreduziblen Selbstenergie ist. Dieser Sachverhalt ist in
Abbildung 2.1.3 dargestellt. Für die dazugehörige Ein–Teilchen–Greensfunktion ergibt
sich dann
Gαβ(ω) = gαβ(ω)+ �
gαδ(ω)Σδγ(ω)gγβ(ω)
+ �
δγδ ′ γ ′
+ ··· .
δγ
gαδ(ω)Σδγ(ω)gγδ ′(ω)Σδ ′ γ ′(ω)gγ ′ β(ω) (2.1.19)
Betrachtet man nun Abbildung 2.1.3, so sieht man, daß die gestrichelte Linie erneut die
5 Siehe oben, Spektralfunktion.
6 Eine erste solche ”linkedcluster” Entwicklung wurde von Brueckner angegeben undbis zur vierten
Ordnung bewiesen [Bru55b]. Der allgemeine Beweis des sogenannten ”linked cluster theorem” gelang
Goldstone [Gol57].