Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

64 Kapitel 5 Ergebnisse
liefert und zum anderen weil ein enger Zusammenhang zwischen der BCS–Lösung des
Paarhamiltonian und der HF–Lösung des Hubbard–Modells besteht (siehe 5.3).
In der BCS–Theorie geht man davon aus, daß der Grundzustand des Systems aus reinen
Paarkonfigurationen aufgebaut ist. Für den Grundzustand setzt man
|BCS〉 = �
k>0
�
uk + vka †
ka† �
k¯
|0〉 (5.2.2)
an, wobei uk und vk Variationsparameter sind, für die u 2 k + v 2 k = 1 gilt. Berechnet man
den Erwartungswert des Paarhamiltonoperators bezüglich diesem Grundzustand, erhält
man
〈H〉 =2 �
εkv
k>0
2 k −|G|
⎡
⎣ �
⎤2
ukvk
⎦
k>0
. (5.2.3)
Hier wurde εk = ε0 k − λ gesetzt, wobei ε0k die ursprüngliche Ein–Teilchen–Energie und λ
ein Lagrangeparameter zur Festlegung der richtigen Teilchenzahl ist. Die Variation diese
Erwartungswerts,
führt auf die Gleichung
Mit Hilfe der Größe
∂
∂vk
〈H〉− vk
uk
∂
〈H〉 =0, (5.2.4)
∂uk
�
v 2 k − u2 �
k |G| �
ukvk +2εkukvk =0. (5.2.5)
k>0
∆=|G| �
k>0
ukvk
kann man nach den Variationsparametern auflösen
u2 k
v2 �
k
= 1
⎛
⎝1 ±
2
Mit (5.2.6) und (5.2.7) erhält man die sogenannte Gap–Gleichung
∆= 1 �
2 k>0
⎞
(5.2.6)
εk
�
ε2 k +∆2
⎠ . (5.2.7)
|G|
aus der ∆, uk und vk iterativ bestimmt werden können.
�
ε2 ∆ (5.2.8)
k +∆2