Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

70 Kapitel 5 Ergebnisse
Bei der numerischen Lösung eines solchen gekoppelten, nichtlinearen Gleichungssystems,
gibt man in der Regel einen Startwert für die si vor. Der Algorithmus berechnet dann
zunächst die Funktionswerte fj an der vorgegebenen Stelle, variiert dann gezielt die einzelnen
si und prüft, ob die damit neu berechneten Funktionswerte betragsmäßig näher
an Null herangerückt sind. Für eine bestimmte Anzahl von Iterationen wird dann geprüft,
ob Konvergenz erzielt werden kann. Falls dies nicht gelingt, muß ein neuer Satz von
Startwerten angegeben werden. Ein möglichst geschickt gewählter Starwert verkürzt so
die Rechenzeit. Bei kleinen Paarkräfte (|G| ≤ 0.2) ist es am günstigsten, zunächst alle si
Null zu setzen. Letzteres ist gleichbedeutend damit, zunächst nur den konstanten Term
der Entwicklung von eS = �
k Sk /k! zu betrachten. Im Verlauf der Iteration werden dann
nach und nach höhere Terme der Entwicklung ungleich Null beigemischt, mit denen es
gelingt die Funktionswerte fj so lange zu minimieren, bis das Gleichungssystem gelöst ist.
Abgesehen vom numerischen Faktum ist diese Vorgehensweise auch relativ plausibel. Hat
manjedochgrößere Paarkräfte ist dies nicht mehr richtig, da die in s nichtlinearen Komponenten
der Wellenfunktion wichtiger werden. In diesem Fall führen Startwerte zwischen
0.5 und 1 eher zum Erfolg. Schlimmstenfalls muß man das Iterationsverfahren mehrfach
durchlaufen, wobei man als Startwerte für die s–Amplituden Zufallszahlen zwischen -4
und 4 wählt, um aus den sich ergebenden Lösungen die richtige auszuwählen.
Im Folgenden sollen Ergebnisse für eine Beschreibung des Paarproblems mit dem exp[S]–
Verfahren angegeben und diskutiert werden. Insbesondere wurde die S2– und die S4–
Näherung untersucht. In S2–Näherung werden alle Si mit i>2 und in S4–Näherung alle
Si mit i>4 Null gesetzt.
In Tabelle 5.2.4 sind die Resultate für die S2– und die S4–Näherung neben der exakten
Lösung und den BCS-Resultaten für zwei verschiedene Wechselwirkungsstärken und 2
Nukleonenpaare in 6 Schalen angegeben. Hier wurden nur zwei Paare auf die Schalen
verteilt, um zu zeigen, daß in diesem Fall die S4–Näherung mit dem exakten Resultat
übereinstimmt. Dies muß per Definition der Fall sein, da die höchste mögliche Anregung
eine 4T4L–Anregung ist, was genau der S4–Amplitude entspricht. Unabhängig von der
Wechselwirkungsstärke sind hier demnach S4–Näherung und exakten Lösung identisch.
Im Gegensatz dazu fällt auf, daß die Qualität der S2–Näherung stark von der Paarkraft
|G| abhängt. Während die von der S2–Näherung vorhergesagten Grundzustandsenergien
sowohl für |G| =0.25 als auch für |G| =0.45 noch besser als die BCS–Vorhersage sind
und das exakte Resultat recht ordentlich approximieren, weichen die Vorhersagen für die
Besetzungszahlen bei der größeren Wechselwirkungsstärke doch erheblich von den exakten
Resultaten ab und sind schlechter als die BCS–Besetzungszahlen. Offensichtlich werden
die Beiträge der Wellenfunktion e S |Φ〉 in denen in S2 quadratische Terme auftauchen mit
zunehmendem |G| überschätzt. Dies ist aber nicht unbedingt verwunderlich, da durch die
Projektionstechnik nur die Komponenten der Wellenfunktion die zu |Φ〉 bzw. den 2T2L–