Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

5.3 Hubbard–Modell 87
die gleiche Anzahl von Polen erlaubt wird, was ein wenig aussagekräftiges Ergebnis liefern
würde.
Betrachtet man nun die Besetzungszahlen und die Grundzustandsenergie, erkennt man,
daß die Änderung der Größen mit wachsender Dimension bzw. Polanzahl minimal sind.
Lediglich zwischen der BAGEL–(0, 1)– und der BAGEL–(1, 1)–Näherung ist ein deutlicherer
Unterschied zu erkennen, was auf das Fehlen der zusätzlichen Pole unterhalb der
Fermikante zurückzuführen ist (keine 2L1T–Konfigurationen berücksichtigt). Sobald man
aber auch Pole mit 2L1T–Charakter zuläßt, ist das Resultat sehr stabil. Insbesondere
zwischen den (in 2T1L und 2L1T symmetrischen) (1, 1)–, (2, 2)– und (3, 3)–Näherungen
besteht kaum ein Unterschied, so daß man schon die (1, 1)–Näherung als nahezu konvergent
ansehen kann. Da die (3, 3)–Näherung bei 6 Gitterplätzen schon die Reduktion einer
Matrix der Dimension 30 000 beinhaltet, ist es erfreulich, daß man sich schon mit der
bedeutend weniger aufwendigen (1, 1)–Näherung zufrieden geben kann. Da der Rechenaufwand
und somit die Dimension der zu reduzierenden Matrix stark mit der Gittergröße
ansteigt, ist dies für größere oder quadratische Gitter umso wichtiger, da man z. B. beim
6 × 6–Hubbard–Modell nicht mehr in der Lage ist, mehr als die (1, 1)–Näherung zu bestimmen.
Da das Konvergenzerhalten auch für andere, noch handhabbare Gitter dem in
Tabelle 5.3.4 dargestellten entspricht, ist im folgenden mit einem SCGF–Resultat immer
die (1, 1)–Näherung gemeint.
U/t–Abhängigkeit der Lösung
Wie erwähnt hängt die Qualität der HF–Näherung von U/t ab. Eine Analyse der SCGF–
Resultate für verschiedene U/t zeigt, daß auch die Qualität der SCGF–Näherung von
U/t abhängig ist. Deswegen ist in Abbildung 5.3.5 die Differenz zwischen der exakten
Grundzustandsenergie und der mit HF bzw. SCGF erzielten Grundzustandsenergie grafisch
dargestellt. Zunächst ist zu sehen, daß für U/t → 0 sowohl HF als auch SCGF mit
der exakten Energie übereinstimmen (die Differenz E0 − EN also Null ist). Dies muß auch
so sein, da sich in diesem Fall die Gesamtenergie auf die kinetische Energie reduziert.
Mit wachsendem U/t wächst dann die Differenz zwischen HF–Energie und exakter Energie
stärker an als die entsprechende mit der SCGF–Energie gebildete Differenz. Bis U/t � 6
unterschätzen beide Näherungsverfahren die exakte Energie, die Energiedifferenz ist negativ
was bedeutet, daß die exakte Energie tiefer ist als die HF– oder SCGF–Energie.
Außerdem ist zu erkennen, daß bei U/t � 3.5 bis 4 eine maximale Unterschätzung beider
Verfahren erreicht wird während für U/t > 4 der Fehler wieder geringer wird. Bemerkenswert
ist, daß bei U/t � 6 das SCGF–Verfahren die Nullinie schneidet und für U/t > 6die
exakte Grundzustandsenergie überschätzt. Dies stellt jedoch keinen systematischen Fehler
dar, da das SCGF–Verfahren kein Variationsverfahren ist und somit eine Überschätzung