Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

114 Anhang B QMC–Formalismus
Die Frage ist nun, welche Gestalt der Entwicklungsoperator U haben muß, so daß der
Erwartungswert von O berechnet werden kann. Eine Möglichkeit besteht in einer Pfadintegralformulierung
des Entwicklungsoperators. Hat man einen Hamiltonoperator, der
höchstens Zwei–Teilchen–Operatoren beinhaltet, kann er mit geeigneten Operatoren Oα
als quadratische Form geschrieben werden
H = �
εαOα +
α
1 �
VαO
2 α
2 α , (B.5)
wobei angenommen wurde, daß der quadratische Term diagonal in Oα ist. Geeignete
Operatoren sind hier zumeist Ein–Teilchen–Dichten. Die Stärke der Zwei–Teilchen–
Wechselwirkung wird durch reelle Zahlen Vα beschreiben. Falls H als eine solche quadratische
Form geschrieben werden kann, ist es möglich, den Entwicklungsoperator U
als Pfadintegral zu schreiben. Dazu wird die Exponentialfunktion in Nt ’Zeitschritte’
β = Nt∆β aufgeteilt, so daß
U = �
e −∆βH�Nt (B.6)
gilt. Dann muß eine Hubbard–Stratonovich–Transformation [Hub59] für den n-ten Zeitschritt
des Zwei–Teilchen–Anteils durchgeführt werden, was auf
e −∆βH2
�∞
�
� ∆β |Vα|
� dσαn
−∞
α 2π
� 1 � �
2
� 1
exp −∆β
α 2 |Vα| σ 2 αn + εαOα
��
+ sαVασαnOα
(B.7)
führt. sα ist ein Phasenfaktor der ±1 ist,wennVα < 0 und ±i wenn Vα > 0 ist. Jede reelle
Variable σαn ist ein sogenanntes ’auxiliary field’, das beim Zeitschritt n zum Operator Oα
gehört. Für den Entwicklungsoperator erhält man nun
U = �
e −∆βH� �
Nt
� D Nt [σ] G (σ) e (−∆βhσ(τNt )) (−∆βhσ(τ1))
···e , (B.8)
wobei die Metrik
der Gaußfaktor
D Nt �
Nt � � ∆β |Vα|
[σ] = dσαn
n=1 α 2π
und der Ein–Teilchen–Hamiltonoperator
hσ (τn) = �
αn
� 1
2
�
G (σ) =exp−
� 1
2 |Vα| σ 2 �
αn
α
(εα + sαVασαn) Oα
, (B.9)
(B.10)
(B.11)