Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

5.3 Hubbard–Modell 77
In Ortsdarstellung hat man jetzt also einen nur aus Ein–Teilchen–Operatoren bestehenden
Potentialterm, der von m abhängt. Nun nützt man aus, daß (−1) �i = e i( �i � Q) gilt, wobei
im eindimensionalen Fall Q = π und im zweidimensionalen Fall � Q =(π, π) zuwählen
ist, und führt ein Fouriertransformation von (5.3.8) auf dem Gitter aus. Insgesamt erhält
man so für den Hamiltonoperator (5.3.1) in Impulsdarstellung
H = �
ε(k)c
σk
†
σkcσk − U � �
m c
2 k
†
↑k+Qc↑k − c †
↓k+Qc↓k �
+ UN
4 m2 . (5.3.9)
Da man im Hubbard–Modell mit periodischen Randbedingungen arbeitet, kann man den
letzten Ausdruck als eine Summe über die reduzierte Brillouin–Zone (halbe Periode) und
mit Hilfe einer 2 × 2–Matrix, die jeweils die Zustände |k〉 und |k + Q〉 verknüpft, umschreiben
in
H = �
σ,k∈B
�
c †
σk c †
σk+Q
⎛
�
⎜
⎝
ε(k)
Um
2
⎞ ⎛ ⎞
Um
cσk
2
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠ +
ε(k + Q) cσk+Q
UN
4 m2 . (5.3.10)
Für jedes k aus der reduzierten Brillouin–Zone hat man also nur eine 2 × 2–Matrix zu
diagonalisieren. Da außerdem ε(k) =−ε(k + Q) gilt, erhält man für die Eigenwerte und
Entwicklungskoeffizienten der 2 × 2–Matrizen einfach
Ek = ±
�
ε 2 k + U 2 m 2
4
(5.3.11)
ν 2 k± = 1
�
1 ±
2
εk
�
.
Ek
Wie gesagt, ist m ein Parameter, der im Verlaufe der Rechnung bestimmt werden muß.
Neben einer iterativen Lösung ist es auch möglich m mit dem Variationsprinzip zu bestimmen.
Nach einer Diagonalisierung von (5.3.10) gilt für den Grundzustandserwartungswert
von H (für einen der beiden Spins)
〈H〉 = − �
�
Führt man die Variation bezüglich m aus,
erhält man aus (5.3.12)
1
2
�
k
k
ε 2 k + U 2 m 2
4
+ UN
4 m2 . (5.3.12)
∂
〈H〉 =0, (5.3.13)
∂m
U 2 m/2
�
ε 2 k + U 2 m 2
4
− UN
2
m =0. (5.3.14)