Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

74 Kapitel 5 Ergebnisse
Auch für andere untersuchte Konfigurationen zeigen die mit dem exp[S]–Verfahren erzielten
Ergebnisse ein ähnliches Verhalten. Allerdings bleibt hinzuzufügen, daß mit steigender
Anzahl von Schalen bzw. Paaren, anders als bei BCS, der Rechenaufwand überproportional
ansteigt. Da die exp[S]–Gleichungen mit Hilfe des Projektionsverfahrens gelöst
werden, gibt es mit steigender Teilchenzahl immer mehr relevante Komponenten der Wellenfunktion,
die berücksichtigt werden müssen und demzufolge immer mehr unbekannte
s–Amplituden. Hinzu kommt, daß ein nichtlineares Gleichungssystem bei einer großen
Zahl von Unbekannten naturgemäß schwieriger zu lösen ist, als ein lineares. Betrachtet
man z. B. das System 10 Paare in 20 Schalen, so besteht der S2–Operator aus 100 Termen
und der S4–Operator aus 2025 Termen. Man hätte also ein nichtlineares Gleichungssystem
mit 2125 Unbekannten zu lösen, was zweifellos kein einfaches Unterfangen darstellt. Will
man dieses System hingegen mit BCS beschreiben, so hat man lediglich je 20 Unbekannte
vk und uk. Darüberhinaus ist die Güte der Näherung, zumindest für das hier untersuchte
Paarproblem, von der Stärke der Wechselwirkung abhängig. Dies war bei den oben diskutierten
Ergebnissen insbesondere bei der S2–Näherung zu beobachten und es ist nicht
auszuschließen, daß dies bei größeren Konfigurationsräumenauchfür die S4–Näherung
gilt. Bei großen Paarkräften kann durchaus der Fall eintreten, daß z. B. eine Lösung der
S2–Näherung zu unsinnigen Besetzungszahlen führt, so daß mindestens die S4–Näherung
herangezogen werden muß, um ein vernünftiges Ergebnis zu erzielen. Ein ähnlicher Fall
könnte bei großen Konfigurationsräumen und großen Wechselwirkungsstärken auch für
die S4–Näherung eintreten.
Trotz dieser Vorbehalte ist es aber sicher sinnvoll, das exp[S]–Verfahren zu untersuchen.
Schließlich will man ja gerade eine Verbesserung gegenüber BCS erzielen. Daß eine solche
Verbesserung mit einer Erhöhung des Rechenaufwands einhergeht ist nicht verwunderlich.
Außerdem ist ein System mit vielen Freiheitsgraden natürlich auch komplizierter,
so daß nicht zu erwarten ist, daß bei gleichem Rechenaufwand ein kleines und ein großes
Vielteilchensystem gleich gut beschrieben werden können. Letztendlich ist man immer gezwungen
für ein konkretes Problem eine möglichst geeignete Näherung zu finden. Für das
Paarproblem und eine überschaubare Anzahl von Schalen ist die exp[S]–Methode aber
offensichtlich eine gute und geeignete Näherung.
5.3 Hubbard–Modell
Um das Verhalten von Elektronen zu beschreiben besteht ein vielfach untersuchter Ansatz
im minimalen Hubbard–Modell, wie in Kapitel 3.3 erläutert wurde. Zur Erinnerung sei
hier nochmals der Hamiltonoperator (in Ortsdarstellung) angegeben.
H = �
〈ij〉
tij
�
a †
↑ia↑j + a †
↓ia↓j �
+ U �
i
a † †
↑ia↑ia ↓ia↓i . (5.3.1)