Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

2.1 Greensche Funktionen 11
1. Die Berechnung des Erwartungswertes jedes Ein–Teilchen–Operators im Grundzustand.
2. Die Berechnung der Grundzustandsenergie
3. Vorhersagen über das Anregungsspektrum des N ± 1–Systems
Auf diese Punkte soll im folgenden eingegangen werden.
Erwartungswerte von Ein–Teilchen–Operatoren
Ein beliebiger Ein–Teilchen–Operator ist in zweiter Quantisierung [Rin80, Bau68] gegeben
durch
Ô = �
〈α |ô| β〉 a † αaβ , (2.1.14)
αβ
αβ
wobei α und β für einen Satz orthonormierter Ein–Teilchen–Zustände stehen. Mit Hilfe
der Greensfunktion ergibt sich für den Erwartungswert dieses Ein–Teilchen–Operators
�
ψ N �
�
0 �Ô �
�
� ψ N �
0 = �
〈α |ô| β〉 lim
η→0 +
�
dω
2πi eiωηGαβ(ω) . (2.1.15)
Relevante Ein–Teilchen–Operatoren wären z. B. die kinetische Energie, der Spin oder die
Besetzungszahl. Für letztere ergibt sich insbesondere
N(α) = �
ψ N �
�
0 �a † αaα �
�
� ψ N �
0 = dω Sh,α(ω) . (2.1.16)
−∞
Im Modell unabhängiger Teilchen erhält man für alle Ein–Teilchen–Zustände unterhalb
der Fermienergie die Besetzungszahl 1. Wird die Restwechselwirkung, oder zumindest ein
Teil von ihr, mitberücksichtigt, verringert sich die Besetzung der Zustände unterhalb der
Fermikante und Zustände über ihr werden bevölkert. Je größer dieser Effekt ist, desto
stärker ist die Korrelation der Teilchen untereinander. 4
Grundzustandsenergie
Eine besonders interessante Größe ist selbstverständlich die totale Grundzustandsenergie.
Falls die Wechselwirkung zwischen den Teilchen reinen Zwei–Körper–Charakter hat,
erhält man für den Erwartungswert des Hamiltonoperators [Fet71]
E = �
ψ N 0 |H| ψN �
0 = lim
η→0 +
� εF
−∞
dω
4πi
eiωη �
αβ
�εF
[〈α |T | β〉 + ωδαβ] Gβα(ω) . (2.1.17)
Diese Beziehung ist auch unter dem Begriff ”Koltun–Summenregel” bekannt.
4 Was gleichbedeutend damit ist, daß sich die Teilchen nicht mehr unabhängig voneinander bewegen.