Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

40 Kapitel 3 Modelle und Modellräume
Abbildung 3.3.2: Nearest–Neighbour–Hopping im zweidimensionalen Hubbard–Modell.
definieren, wobei man eine Vektornotation für die Gitterplätze, �j =(j1,j2), benützt hat
und σ für den Spin (↑ oder ↓) steht.Mitc †
σ�n hat H1 im Impulsraum die einfache Gestalt
H1 = �
σ�n
ε�nc †
σ�n cσ�n , (3.3.4)
wobei ε�n die Ein–Teilchen–Energie ist, die zu einem Zustand gehört, den der Operator
c †
σ�n erzeugt. Zur weiteren Vereinfachung wird häufig angenommen, daß tij gleich einer
Konstante t ist, was in einem Gitter aus identischen Atomen auch sinnvoll erscheint. In
diesem Fall erhält man für die Ein–Teilchen–Energien
� �
2π
ε�n =2t cos
N n1
� �
2π
+cos
N n2
��
. (3.3.5)
Das Ein–Teilchen–Spektrum, also die Eigenwerte von H1, sindfür den Fall t = 1 und ein
4 × 4–Gitter in Abbildung 3.3.3 dargestellt.
Der zweite Term aus (3.3.1) beschreibt die Coulomb–Abstoßung zwischen zwei Elektronen,
die sich auf dem selben Gitterplatz befinden.
H2 = U �
i
a † †
↑ia↑ia ↓ia↓i (3.3.6)
Dabei ist zu beachten, daß das Pauliprinzip dafür sorgt, daß nur Elektronen mit entgegengesetztem
Spin auf ein und demselben Gitterplatz sitzen können. Die elektromagnetische
Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen, die sich nicht am selben Gitterpunkt befinden,
wird vernachlässigt.