Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

3.3 Das Hubbard-Modell 39
Abbildung 3.3.1: Modellraum für das eindimensionale Hubbard–Modell (Ortsraum).
Dargestellt ist eine mögliche Konfiguration.
Valenzelektronen beschreibt, als
H = � �
tij a †
↑ia↑j + a †
↓ia↓j �
+ U �
〈ij〉
i
a † †
↑ia↑ia ↓ia↓i (3.3.1)
angeben. Dieser Hamiltonoperator wird auch ”Hubbard–Hamiltonian” genannt. Der Ope-
rator a †
↑i (a†
↓i ) erzeugt ein Elektron mit Spin up (Spin down) im Orbital φi(r) amGitterpunkt
i. Im Hubbard-Modell beschränkt man sich zusätzlich auf ein einziges Leitungsband,
d. h. man nimmt an, daß es pro Gitterplatz nur zwei Orbitale gibt und zwar je eines
für Spin up und Spin down. Das hat zur Folge, daß im Hubbard–Modellraum, der für das
eindimensionale Hubbard–Modell in Abbildung 3.3.1 dargestellt ist, jeder Gitterplatz mit
keinem,einem,oderzwei(zuS = 0 gekoppelten) Elektronen besetzt sein kann.
Der erste Term in (3.3.1) beschreibt das Hüpfen der Elektronen innerhalb des Gitters.
H1 = � �
tij a †
↑ia↑j + a †
↓ia↓j �
. (3.3.2)
〈ij〉
H1 verschiebt ein Elektron vom Gitterplatz j auf den Gitterplatz i mit der zugehörigen
Stärke tij. Um eine numerische Rechnung durchführen zu können betrachtet man meistens
ein endliches Gitter mit periodischen Randbedingungen. Dieses Gitter sollte, um
einen Festkörper realistisch beschreiben zu können, dreidimensional sein. In der Regel
untersucht man aus technischen Gründen aber ein- oder zweidimensionale Gitter. Der
Summationsindex 〈ij〉 soll andeuten, daß das Hüpfen der Elektronen nur für bestimmte
Abstände zwischen den beiden Gitterpunkten möglich ist. Im Allgemeinen beschränkt
man sich auf nächste Nachbarn, also den Fall i = j ± 1 (Nearest–Neighbour–Hopping).
Eine solche Beschränkung stellt keine drastische Näherung dar, da es unmittelbar einleuchtet,
daß nicht benachbarte Atomorbitale einen äußerst geringen Überlapp haben.
Dieses ”Nearest–Neighbour–Hopping” ist für ein zweidimensionales Gitter in Abbildung
3.3.2 dargestellt.
Aufgrund der periodischen Randbedingungen des Gitters, kann H1 mit Hilfe einer Fouriertransformation
diagonalisiert werden. In einem zweidimensionalen N ×N–Gitter kann
man den Operator
c † 1
σ�n =
N
�
n1n2
2π
i
e N (n1j1+n2j2) †
a
σ�j
(3.3.3)