Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung
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2.1 Greensche Funktionen 13<br />
α<br />
β<br />
=<br />
α<br />
β<br />
+<br />
α<br />
δ<br />
γ<br />
β<br />
Σ R<br />
Abbildung 2.1.1: Diagrammatische <strong>Darstellung</strong> der Störungsreihe für die Greensfunktion<br />
<strong>mit</strong> Hilfe der reduziblen Selbstenergie (doppelschraffierte Fläche)<br />
gesamte Reihe für den exakten Propagator G e<strong>in</strong>schließt. Da<strong>mit</strong> läßt sich (2.1.19) <strong>mit</strong><br />
Hilfe der irreduziblen Selbstenergie schreiben als<br />
Gαβ(ω) =gαβ(ω)+ �<br />
gαδ(ω)Σδγ(ω)Gγβ(ω) . (2.1.20)<br />
δγ<br />
Die obige Gleichung (2.1.20) ist die Dyson–Gleichung. Die diagrammatische <strong>Darstellung</strong><br />
der Dyson–Gleichung ist <strong>in</strong> Abbildung 2.1.4 zu f<strong>in</strong>den. Beachtet man, daß gαβ(ω) =<br />
gα(ω)δαβ gilt, kann man (2.1.20) umschreiben <strong>in</strong><br />
Gαβ(ω) =gα(ω)δαβ + �<br />
gα(ω)Σαγ(ω)Gγβ(ω) . (2.1.21)<br />
γ<br />
Für den Fall, daß die Selbstenergie <strong>in</strong> (2.1.21) diagonal ist, kann man die Dyson–Gleichung<br />
nach G auflösen und erhält<br />
Gαα(ω) =<br />
1<br />
[gα(ω)] −1 − Σαα(ω) =<br />
1<br />
ω − εα − Σαα(ω)<br />
Wobei die Beziehung (2.1.12) für den freien Propagator e<strong>in</strong>gesetzt wurde.<br />
(2.1.22)<br />
Abbildung 2.1.2: Beispiele für irreduzible (erstes und zweites Diagramm von l<strong>in</strong>ks) und<br />
reduzible (übrige Diagramme) Selbstenergiee<strong>in</strong>schübe
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