Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

66 Kapitel 5 Ergebnisse
kräften zunehmen. Hat man bei |G| =0.2 noch einen Fehler von 7%, so wächst dieser für
|G| =0.5 auf 15% an. Ähnlich stellt sich der Sachverhalt auch für die Besetzungszahlen
dar, wobei auffällt, daß die Umschichtung der Ein–Teilchen–Stärke in der Nähe der Fermienergie,
hier also für die Ein–Teilchen–Zustände 3 und 4, von der BCS–Rechnung für
alle Wechselwirkungsstärken deutlich überschätzt wird. Hingegen wird die Umverteilung
der Ein–Teilchen–Stärke der übrigen Zustände mit wachsenden |G| zunächst unterschätzt,
dann überschätzt. Trotzdem kann man in Anbetracht der Einfachheit des Ansatzes und
im Vergleich zu anderen kernphysikalischen Näherungsmethoden (etwa HF für endliche
Kerne) sagen, daß BCS eine gute Näherung des Paarproblems liefert.
Da das BCS–Verfahren schon oft angewendet und getestet wurde [All72] und im folgenden
die BCS–Lösungen mit den anderen Näherungsmethoden verglichen werden, sollen an dieser
Stelle keine weiteren Daten für andere Konfigurationen angegeben werden. Außerdem
ändern sich die Eigenschaften der BCS–Lösung auch für andere Paar– oder Schalenanzahlen
nicht nennenswert, so daß eine weitere, nur auf BCS fokussierte Diskussion unnötig
ist.
5.2.3 Lösung mit Lanczos
Mit Hilfe der in Kapitel 4.2 vorgestellten Besetzungszahldarstellung ist es relativ einfach,
den Paarhamiltonoperator sukzessive auf einen Startzustand anzuwenden, um eine
neue Basis zu generieren (BAGEL–Verfahren). Als Startzustand wird hier der Zustand
gewählt, in dem die energetisch tiefsten Ein–Teilchen–Zustände besetzt sind. Je nachdem,
wie oft man den Hamiltonoperator auf den Startzustand anwendet, erhält man einen unterschiedlich
großen Basissatz und daraus Näherungen unterschiedlicher Güte.
In Tabelle 5.2.2 sind Ergebnisse für die Besetzungszahlen und die Grundzustandsenergie
für einen Basissatz aus 3, 7 und 15 Lanczos–Vektoren, sowie das exakte Ergebnis und die
Vorhersagen der BCS–Theorie für 4 Paare in 8 Schalen angegeben. Die Dimension der
exakten Matrix beträgt in diesem Fall 70. Das Generieren eines Basisvektors bedeutet
ein– oder mehrmaliges Anwenden des Hamiltonoperators auf den Startzustand |11110000〉
und resultiert in einem Vektor der Länge 70. Die Dimension der am Schluß zu diagonalisierenden
tridiagonalen Matrix ist gleich der Anzahl der erzeugten Lanczos–Vektoren.
Anhand der Tabelle erkennt man, daß schon bei nur drei Basisvektoren eine durchaus
akzeptable Näherung erzielt wird, deren Qualität mit BCS vergleichbar ist, was umso erstaunlicher
ist, wenn man bedenkt, daß der Rechenaufwand in beiden Fällen etwa gleich
groß ist. Hier wird die Ausschmierung in der Nähe der Fermikante, die zwischen den Ein–
Teilchen–Zuständen 4 und 5 liegt, von der Lanczos–Diagonalisierung etwa gleich stark
unterschätzt, wie sie von BCS überschätzt wird. Dies ist darauf zurückzuführen, daß bei
nur zweimaliger Anwendung des Hamiltonoperators auf den Startzustand die erzeugten