Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

5.3 Hubbard–Modell 81
k � �
2π
6
U/t =3 U/t =4
HF exakt HF exakt
εk 〈n↑k〉 〈n↓k〉 〈n↑k〉 〈n↓k〉 〈n↑k〉 〈n↓k〉 〈n↑k〉 〈n↓k〉
0 -2.0 0.9618 0.9618 0.9549 0.9549 0.8985 0.8985 0.9229 0.9229
1 -1.0 0.8846 0.8846 0.9247 0.9247 0.7754 0.7754 0.8689 0.8689
2 1.0 0.1154 0.1154 0.0753 0.0753 0.2246 0.2246 0.1311 0.1311
3 2.0 0.0382 0.0382 0.0451 0.0451 0.1015 0.1015 0.0771 0.0771
4 1.0 0.1154 0.1154 0.0753 0.0753 0.2246 0.2246 0.1311 0.1311
5 -1.0 0.8846 0.8846 0.9247 0.9247 0.7754 0.7754 0.8689 0.8689
E0 -3.6513 -4.4334 -2.8363 -3.6687
Tabelle 5.3.2: Vergleich von HF und exaktem Ergebnis für das eindimensionale Hubbard–
Modell im Impulsraum. Angaben für εk und E0 in eV.
wobei ρσij die Dichtematrix im Ortsraum ist. Da die Besetzungszahlen in der Ortsdarstellung,
also die Diagonalelemente der Dichtematrix, für die exakte und die HF–Lösung
identisch waren, muß der Unterschied der Besetzungszahlen in der Impulsdarstellung von
den Nebendiagonalelementen von ρσij herrühren. Für U/t =4wirddieBevölkerung der
Ein–Teilchen–Niveaus mit positiven Energien überschätzt, während die Entvölkerung unterhalb
der Fermienergie überschätzt wird. Für U/t = 3 ist das Bild nicht so einheitlich,
da die Besetzungszahlen teils über– und teils unterschätzt werden. Die Qualität der HF–
Näherung hängt offensichtlich von U/t ab. Bei 6 Gitterplätzen liefert HF für U/t < 2die
trivialen Besetzungszahlen 0 und 1 aus den schon bei der Diskussion der Gap–Gleichung
angeführten Gründen (Kapitel 5.2.2).
Bleibt noch anzumerken, daß für die beiden Grenzfälle U/t → 0 und U/t →∞die HF–
Lösung mit der exakten Lösung übereinstimmt, wovon man sich leicht überzeugt indem
man in der Beziehung
〈nσk〉 = ν 2 k = 1
⎡
⎤
⎣1 ± �
2
εk ⎦ (5.3.19)
ε 2 k +∆2
die Werte ∆ = 0 und ∆ →∞einsetzt und für die Besetzungszahlen die erwarteten Werte